Enfoque general para resolver problemas con la ampliación de funciones multivariables para ser continuo, por ejemplo, $f(x,y,z) = \frac{x^2-y^2+z^2}{x+y}$

Question

Estoy teniendo problemas con el título, dijo. En general, tengo algunas funciones,determinar el dominio $D_f$ y, además, el límite de puntos de su dominio, ya que $f$ se dice continua en $x$ si $x$ no es un punto límite de la set $D_f$. El problema siempre es el de encontrar los puntos en que la función puede ser extendida de manera continua. Así que no puedo decir ah no es continua en un punto específico, por tanto, no puede ser extendido. E. g. si usted tenía una función que puede ser extendido a$(0,0)$, pero no los puntos de la forma$(0,x)$ tienes que probar la declaración y que es una respuesta válida.

Algunas de las herramientas que me han dado para probar que la función es continua en un punto se Heine, que resultó no ser útil cuando usted tiene una función que es un polinomio y más de una variable en el denominador, y el habitual $\epsilon -\delta$ que es bastante complicado para trabajar la mayoría del tiempo.

Un problema adicional es que se me ha enseñado que en la uni hace apenas unos días, y la semana que viene ya estoy siendo probado en la solución de algunas funciones que son incluso más difíciles.

Es mucho más fácil probar que una función no puede ser extendido a un punto, porque entonces todo lo que tienes que hacer es encontrar dos restricciones de la función dada con diferentes límite de puntos, o dos secuencias específicas que convergen en el mismo punto, pero el punto límite del valor de la función de dichas secuencias no es el mismo.

Así que, básicamente, estoy más interesado en averiguar un enfoque general a estos problemas, en lugar de soluciones específicas. Es como si todavía no tienes la más mínima sensación de antemano, si será o wil no ser extensible a ciertos puntos. Y teniendo en cuenta que voy a obtener alrededor de 20 minutos para resolver un problema realmente quiero averiguar.

Por ejemplo, considere la función:

$$f:R^3\rightarrow R,$$defined as $$f(x,y,z) = \frac{x^2-y^2+z^2}{x+y}$$

Ahora, $D_f = R^2\backslash\{(x,-x,z):x,z\in R\}$ y, obviamente, cada punto en $R^3$ es un punto límite de la set $D_f$.

Primero vamos a hablar acerca de $(0,0,0)$ Después de probar algunos de los límites de la restricción de esta función, por ejemplo, $lim_{x\rightarrow0}f(x,0,0) = 0 $ lo que dicha restricción puedo elegir, por ejemplo, $y = 0, x = 0, z= 0, x=y=z$ etc. el límite es $0$ o no existe. Así que mi intuición me dice que no puede extender o me puede extender a 0, para ese punto. Pero no estoy seguro de qué hacer aquí? $\epsilon - \delta$ $0$ no dan ningún resultado y tomar una secuencia $(x_k,y_k,z_k)$ y conectarlo a la función no funcionó bien.

Por no hablar de probar cualquier cosa para $\{(x,-x,z):x,z\in R\}$.

Otros ejemplos incluyen funciones tales como : $f:R^2 \rightarrow R, f(x,y) = \frac{e^{xy-1}}{x(x^2-y)}$

Answer 1

He aquí una sencilla suficiente criterio para la inexistencia de un límite en esta configuración. (Por "límite", me refiero límite finito). Para mantener las cosas simples, vamos a $g,h$ ser continua en $\mathbb R^2,$ y deje $E$ será el ajuste a cero de $h.$ $f=g/h$ es definida y continua en $D_f = \mathbb R^2\setminus E.$ voy a asumir que cada punto de $E$ es un punto límite de $D_f.$

Reclamo: Si $(x_0,y_0)\in E$ $g(x_0,y_0)\ne 0,$ $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y)$ no existe.

Prueba: Debido a $(x_0,y_0)$ es un punto límite de $D_f,$ hay una secuencia $(x_n,y_n)\in D_f$ convergentes a $(x_0,y_0).$ a lo Largo de esta secuencia,

$$f(x_n,y_n)=\frac{g(x_n,y_n)}{h(x_n,y_n)}$$

está bien definido. Pero $g,h$ son ambas continuas en $(x_0,y_0),$ por lo que el numerador $g(x_n,y_n)\to g(x_0,y_0)\ne 0,$ mientras $h(x_n,y_n) \to h(x_0,y_0)=0.$ Esto implica $f(x_n,y_n)$ es ilimitado, y esto demuestra la reclamación.

En su ejemplo, $f(x,y) = \dfrac{e^{xy-1}}{x(x^2-y)},$ ver $E$ es igual a la unión de las curvas de $x=0, y=x^2.$ Desde $e^{xy-1}$ nunca $0,$ $f$ no tienen un límite en cada punto de $E$ por la demanda. A veces usted puede contestar a estas preguntas de manera rápida!

Estas ideas se extienden naturalmente a $\mathbb R^3.$ Va a su ejemplo

$$f(x,y,z) = \dfrac{x^2-y^2+z^2}{x+y},$$

deje $g$ ser el numerador, $h$ el denominador. Aquí tenemos a $E = \{(x,-x,z): x,z\in \mathbb R\},$ como se encontró. Si $z\ne 0,$$g(x,x,z) \ne 0.$, Lo que desde nuestro resultado básico, $f$ no tiene límite en un punto de $E$ donde $z\ne 0.$

Todavía hay los puntos de $(x,-x,0)$ a tratar en este ejemplo. Aquí, por desgracia, el numerador también se desvanece. Por eso tenemos que hacer algo más. Lo voy a dejar eso por el momento. Mi objetivo principal por encima de fue a golpear la mesa para la $g\ne 0, h=0$ escenario.

Answer 2

Es difícil dar una respuesta exhaustiva. Espero que esto ayude. Eres el cómputo de la límite $$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x), $$ donde $f:E\rightarrow\mathbb{R}$ $x_{0}\notin E$ pero es un punto límite (acumulación de punto) de $E$. En general, si usted no puede calcular el límite es debido a que usted recibe algunos indetermined formas, las más comunes son de $\frac{0} {0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $1^{\infty}$, $0^{0}$, $\infty-\infty$, $\infty^{0}$. A menudo es conveniente reducir para el caso de $\frac{0}{0}$. Para ejemplo, si usted tiene $$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{g(x)}{h(x)}, $$ donde$g(x)\rightarrow\pm\infty$$h(x)\rightarrow\mp\infty$, luego $$ \frac{g(x)}{h(x)}=\frac{\frac{1}{h(x)}}{\frac{1}{g(x)}}\rightarrow\frac{0}{0}. $$ Otro ejemplo es $$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}(g(x))^{h(x)}, $$ donde$g(x)\rightarrow1$$h(x)\rightarrow\infty$, entonces usted puede escribir $$ (g(x))^{h(x)}=e^{\log(g(x))^{h(x)}}=e^{^{h(x)\log(g(x))}} $$ y ahora $$ h(x)\log(g(x))=\frac{\log(g(x))}{\frac{1}{h(x)}}\rightarrow\frac{0}{0}. $$ Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form sobre cómo transformar la otras formas de en $\frac{0}{0}$.

OK, así que ahora se han reducido para el caso de $\frac{0}{0}$, es decir, $$ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{g(x)}{h(x)}, $$ donde$g(x)\rightarrow0$$h(x)\rightarrow0$. Suponga que $h$ se define en un conjunto $F\subseteq\mathbb{R}^{N}$. Ahora hay dos casos:

Caso 1: Supongamos en primer lugar que hay una curva suave $\Gamma$ en el el dominio $F$ que pasa a través de $x_{0}$ que $h(x)=0$ para todos los $x\in\Gamma$. En sus ejemplos se había $\frac{x^{2}-y^{2}+z^{2}}{x+y}$ o $\frac{e^{xy}-1}{x(x^{2}-y)}$, por lo que el primer denominador es cero a lo largo de la curvas de $y=-x$ y la segunda a lo largo de las curvas de $x=0$$y=x^{2}$. En estos los casos generalmente el límite no existe (a menos que el numerador es cero a lo largo de la exactamente la misma curva, que es un poco desafortunado, pero raro caso). Para demostrarlo tienen que tomar otro curva de $\Gamma_{1}$, muy cerca de la curva de $\Gamma$ y (muy importante), aún pasando por el punto de $x_{0}$, de tal manera que $h(x)\neq0$ todos los $x\in\Gamma_{1}$ cerca de $x_{0}$. Volviendo a tu ejemplo $$ \lim_{(x,y,z)\rightarrow(x_{0},-x_{0},z_{0})}\frac{x^{2}-y^{2}+z^{2}}{x+y}, $$ si $x_{0}=0$ $z_{0}=0$ usted podría tomar $y=-x+x^{2k}$ $z=x$ $k$ muy grande, de modo que a lo largo de la curva tiene \begin{align*} \frac{x^{2}-y^{2}+z^{2}}{x+y} & =\frac{x^{2}-(-x+x^{2k})^{2}+x^{2}}{x^{2k} }=\frac{x^{2}-x^{2}+2x^{2k+1}+x^{2k+2}+x^{2}}{x^{2k}}\\ & =\frac{x^{2}(2x^{2k-1}+x^{2k}+1)}{x^{2k}}=\frac{2x^{2k-1}+x^{2k}+1} {x^{2k-2}}\rightarrow\infty \end{align*} como $x\rightarrow0$ si $k>2$. Si $x_{0}\neq0$ $z_{0}=0$ podría primer hacer el cambio de variables $x^{\prime}=x-x_{0}$ $y^{\prime}=y+x_{0}$ a reducir a $$ \lim_{(x^{\prime},y^{\prime},z)\rightarrow(0,0,0)}\frac {x^{\prime}+x_{0} )^{2}-(y^{\prime}-x_{0})^{2}+z^{2}}{x^{\prime}+y^{\prime}}=\lim_{(x^{\prime },y^{\prime},z)\rightarrow(0,0,0)}\frac {x^{\prime})^{2}+2x_{0}(x^{\prime }+y^{\prime})-(y^{\prime})^{2}+z^{2}}{x^{\prime}+y^{\prime}} $$ y, a continuación, tome $y^{\prime}=-x^{\prime}+(x^{\prime})^{2k}$$z=x^{\prime}$.

En los otros ejemplos que podría tomar $y=x^{2}+x^{m}$. O si se había $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^{3}y^{3}}{y-\sin x} $$ usted tomaría $y=x^{m}+\sin x$.

No hay ninguna manera general para elegir la curva de $\Gamma_{1}$. Usted tiene que mirar a las funciones de $g$ $h$ y encontrar uno que funcione.

Caso 2: Si no hay curva de $\Gamma$ $F$ que pasa a través de $x_{0}$ que $h(x)=0$ todos los $x\in\Gamma$, entonces (en la mayoría de los casos) esta significa que $h\neq0$ todos los $x$ en una bola de $B(x_{0},r)\setminus\{x_0\}$$h(x_{0})=0$. Ejemplos típicos son $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy^{3}}{y^{2}+x^{4}} $$ o $$ \lim_{(x,y)\rightarrow(1,0)}\frac{(x-1)^{3}y^{3}}{\sin^{6}y+(x-1)^{6}}, $$ cosas como esta. En este caso, usted tiene que tratar de escribir $h$ $g$ polinomios en $(x-x_0)$ más un término de error (utilizando la fórmula de Taylor o el Hospital de la regla o conocido los límites). Por ejemplo, $\sin^{6}y=y^{6}+o(y^{6})$ $\sin^{6}y+(x-1)^{4}$ se comporta como $y^{6}+(x-1)^{4}$. En este caso se mira en el grado de la numerador vs el grado del numerador. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite no debe existir, mientras que si el grado del numerador es menor o igual al grado de la denumerator a continuación, el límite probablemente no existe. En el primer ejemplo el el numerador es un polyomial de grado 4 y el denominador de grado 2 por lo que se esperar que el límite existe. En la segunda el numerador tiene grado 6 y el denominador 6 por lo que el límite probablemente no existe. En el primer caso se ¿ $$ \frac{|xy^{3}|}{y^{2}+x^{4}}=\frac {x^{4})^{\frac{1}{4}}(y^{2})^{\frac{3}{2}} }{y^{2}+x^{4}}\leq\frac{(y^{2}+x^{4})^{\frac{1}{4}}(y^{2}+x^{4})^{\frac{3}{2} }}{y^{2}+x^{4}}=(y^{2}+x^{4})^{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-1}\rightarrow0, $$ mientras que en el segundo ejemplo se tome $x=1+y$ para obtener $$ \frac{(x-1)^{3}y^{3}}{\sin^{6}y+(x-1)^{6}}=\frac{y^{6}}{\sin^{6}y+y^{6}} =\frac{1}{\frac{\sin^{6}y}{y^{6}}+1}\rightarrow\frac{1}{2} $$ mientras que si tomamos $x=1$ consigue $$ \frac{(x-1)^{3}y^{3}}{\sin^{6}y+(x-1)^{6}}=\frac{0}{\sin^{6}y+0} =0\rightarrow0. $$