Encuentre $\lim\limits_{x\to0}\frac 1x(x^{-\sin x}-(\sin x)^{-x})$

Question

La cuestión es evaluar este límite: $$\lim_{x\to0}\frac{\big(\frac{1}{x}\big)^{\sin x}-\big(\frac{1}{\sin x}\big)^x}{x}$$ He intentado utilizar la regla de l'Hospital, tomando el logaritmo, haciendo algunas manipulaciones utilizando límites conocidos, pero sin éxito.

Answer 1

$x^{-\sin x} = e^{-\sin x\ln x}=1-\sin x\ln x+o(x)$ y $(\sin x) ^{-x} =e^{-x\ln\sin x} =1-x\ln\sin x+o(x).$ Así que su problema es equivalente a calcular: $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x\ln\sin x - \sin x\ln x}{x}.$$

Pero $\ln\sin x - \dfrac{\sin x \ln x}{x} = \ln\dfrac{\sin x}{x}+\ln x(1-\dfrac{\sin x}{x})=\ln\dfrac{\sin x}{x}+\ln x(\dfrac{x^2}{3!}-\dfrac{x^4}{5!}+...)\rightarrow 0,$ como $x\rightarrow 0.$

Tendrías que rellenar los pequeños detalles.

Answer 2

He borrado mi respuesta anterior porque había errores (estúpidos) en ella, pero resulta que la regla de l'Hopital no es útil, y en realidad hay una respuesta mucho más fácil. Escribe la expresión como $$\frac{e^{-(\ln x)(\sin x)}-e^{-x\ln \sin x}}{x}$$

$$=(\sin x)^{-x}\frac{e^{-(\ln x)(\sin x)+x\ln \sin x}-1}{x}$$

Ahora $(\sin x)^{x}\to 1$ es fácilmente verificable. El resto se puede escribir como, $$\frac{e^{f(x)}-1}{x}=\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}\frac{f(x)}{x}$$ donde el primer factor se limita de nuevo a $1$ . Así, nos vemos reducidos a evaluar $$\ln(\sin x)-\frac{\sin x}{x}\ln x=\ln(\frac{\sin x}{x})-(x\ln x)(\frac{\sin x-x}{x^2})$$ y es fácil ver que todos los elementos limitan a cero.