Soy bastante nuevo en el tema, para el área de la geometría diferencial, pero como yo lo entiendo, el tensor métrico $g$ es un tensor de campo que actúa en el espacio de la tangente $T_{p}M$ a cada punto de $p$ (de Riemann) colector $M$. Específicamente, se define como un mapeo $g:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $(v,w)\mapsto g(v,w)$ donde $v,w \in T_{p}M$. El tensor métrico intuitivamente ofrece el producto interior de dos vectores en un espacio vectorial, y por lo tanto puede ser utilizado para determinar las magnitudes de los vectores, así como el ángulo de intersección entre las curvas tangentes a dos vectores tangente en un punto dado.
Lo que realmente estoy seguro acerca de cómo la métrica en realidad describe la geometría en el colector de $M$? Yo sé que uno puede elegir un conjunto de vectores de la base adaptada a un determinado conjunto de coordenadas en el colector, una de coordenadas de la base, de tal manera que la métrica toma la forma $$g=g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}\otimes dx^{\nu}\equiv g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}dx^{\nu}$$ where $g_{\mu\nu}(x)=g\left(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\right)$. But this just gives the metric tensor at a point. How can one use $g_{\mu\nu}(x)$ in the entire coordinate chart? Or is the point that one evaluates $g_{\mu\nu}(x)$ en cada punto de la mentira en el dominio de las coordenadas del gráfico?
