¿Cuál es la importancia de decidir la Convención de $1 \text{ radian} = 180 \text{ degrees}$ $\pi$?

Question

Digamos que modificar la definición de radián, por ejemplo, de 1 radián = 1 grado y hay 360 radianes en un círculo, a continuación, una de las consecuencias que se me ocurre es que las expansiones de Taylor de las funciones trigonométricas ya no funciona a menos alterada en consecuencia. $$\sin x = x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+\cdots $$ debe en cambio, para el trabajo, se convierten en $$\sin x= \left({\pi\over 180}\right)x-\left({\pi\over 180}\right)^3\left({x^3\over3!}\right)+\left({\pi\over 180}\right)^5\left({x^5\over5!}\right)-\cdots$$

Mi pregunta es: ¿los matemáticos reconocen la elegancia de la definición de $1 \operatorname{radian}={180^\circ/\pi}$ en Taylor expansiones o también en otras cosas (que simplifica las cosas bien), o dicho de definición de venir antes que cualquier otra cosa, o es que hay otro significado para que? Lo importante no es la pregunta que ya es una estructura bien definida, pero yo estoy solo por curiosidad, gracias.

Answer 1

Desde un punto de vista matemático, se están haciendo la pregunta al revés. Usted parece estar asumiendo que el grado es fundamental y el radián se deriva de ella para ser más simple y obtenga $\frac {180}\pi$s de las ecuaciones. A partir de un matemático ver el radián es la unidad fundamental y el grado es algo en el rango de un derivado de la unidad a un grave error. De la ingeniería y del punto de vista conceptual grados son buenas porque dan medidas sencillas a las partes de un círculo que utilizamos, la mayoría (a excepción de mi papá que tenía que cortar la ronda de postres en siete piezas)

Answer 2

Históricamente hablando, no es probable que el embellecimiento de la expansión de Taylor de seno fue "la" razón para la definición de radián. Después de todo, el radián se define por la relación $r\theta=s$, lo cual es muy útil en la física. Tal vez la onu-casualmente, el hombre que definió el radian en la década de 1870, James Thomson, era el hermano del famoso físico Lord Kelvin.

El matemático inglés Brook Taylor murió casi 150 años de anticipación, así que supongo que expansiones de Taylor podría haber sido considerado. De hecho, esta es una de las razones por las que continuar el uso de la radio hoy en día. Sólo cuando los argumentos de seno y coseno se expresan en radianes es cierto que $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ y $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$, y estas relaciones son la forma en la expansión de Taylor de seno es definido.

Answer 3

La gran restricción es la diferenciación de las fórmulas para $cos(x)$ ans $sin(x)$ sólo al $x$ que se mide en radianes. La definición de radián es el siguiente : 1 radián se define como el ángulo que subtienda un arco de longitud 1 en el círculo unidad. El uso de la similitud de los círculos, se obtiene la ecuación $$s = r \theta$$ where s is the arc-length and $\theta$ is in radians. An arc length of $2 \pi r$ corresponds to the entire circumference of a circle. Plugging in gives$$ 2 \pi r = r \theta \implies 2 \pi = \theta$$ Thus there are $2 \pi $ radians in a circle. Equating $2\pi \text{ rad }= 360^o$ le da el factor de conversión entre radianes y grados.

De modo que la definición de radián no tenía absolutamente nada que ver con los grados. La definición de la radian en la anterior manera le da la mancha de fórmula para los derivados de los sinusoides. Cada definición es independiente y resultó que $1$ radian pasó a ser el mismo ángulo, como $360/2\pi $ grados. En una instancia que está dividiendo la circunferencia de un círculo en 360 uniformemente-lengthed segmentos y en la otra se dividen en $2 \pi $ segmentos.

Answer 4

Como se ha señalado por otros, si se toma el círculo unidad, inicio en (0,1) y, a continuación, traza a lo largo del círculo de las agujas del reloj, después de cubrir una distancia de 1 está en el punto donde el ángulo es de 1 radián. Es la unidad natural que no sólo tiene sentido a partir de esa construcción, pero que es compatible con todas las funciones trigonométricas.

De hecho, un "radian", en un sentido, no existe, pero es conveniente nombre para algo que es adimensional. Normalmente en unidades físicas (metros, en joules, de los pies-libras) son inherentemente definiciones de unidades de algún tipo, y tienen dimensiones de las unidades de definir realmente qué '1 joule es (1 joule es igual a 1 kg-m por segundo al cuadrado). La unidad (joule) le dice qué otras medidas y unidades que la conforman; es completamente distinta definición con otras unidades de base, tales como el sistema inglés, donde una unidad de trabajo se define como 1 slug-pie por segundo al cuadrado.

El "radian" no es una unidad en todo, pero es más una medida natural. Lo que realmente va como esto: para cualquier unidad de círculo, la longitud de la circunferencia es 2$\pi$ . Que corresponde a un ángulo tal que uno termina donde empezó. Si al final sólo va parte, la medida del ángulo a es la longitud a lo largo de la circunferencia. Por lo tanto, un ángulo recto tiene una medida de $\pi/2$.

La gente se tira el término "radianes" no por conveniencia, pero con ángulos definidos de esta manera no hay unidades; 'radianes' son ficticios. El valor cae fuera de la definición ($s=r\theta$) y el hecho de que cualquier círculo con una circunferencia de $2\pi r$, y no importa lo que se mide en (metros, centímetros, de años-luz), su ángulo es sólo un número adimensional (como $\pi/2$).

Answer 5

Un grado es una unidad arbitraria utiliza para representar un ángulo. Es la única convención que dice que el 90 grados es un ángulo recto, de 360 grados, es toda una revolución. Asimismo, para una unidad arbitraria, zargs podría tener, por ejemplo, 1.000 zargs por la revolución.

En contraste, un radián especifica el ángulo en términos de la circunferencia cerrada por el ángulo. Es una verdadera relación de la circunferencia de la atravesado vs ángulo. por ejemplo. un ángulo de 90 grados encierra 1/4 de la circunferencia. Como la circunferencia es 2pi*r, entonces la relación es 2*pi*r/(r * 1/4) o pi/2. Sobre esta base 90 grados = pi/2.

Así que en realidad radianes son una manera de representar los ángulos, grados son arbitrarios construir define como 360 grados = 1 revolución.