Período de la suma/producto de dos funciones

Question

Supongamos que ese período de $f(x)=T$ y el período de $g(x)=S$ Estoy interesado en lo que es un período de $f(x) g(x)$ ? período de $f(x)+g(x)$ ? Lo que he intentado es buscar en internet, y he encontrado lo siguiente enlace para esto.

También sé que el período de $\sin (x)$ es $2 \pi$ pero, ¿qué hay de $\sin ^2(x)$ ? ¿Tiene el período de nuevo $\pi n$ o? ejemplo es la siguiente función $y= \frac { \sin ^2(x)}{ \cos (x)}$ puedo hacer lo siguiente, es decir, sabemos que $\sin (x)/ \cos (x)= \tan (x)$ y el período de la función tangente es $\pi$ para poder representar $y= \sin ^2(x)/ \cos (x)$ como $y= \tan (x) \times\sin (x)$ pero, ¿cómo se puede calcular el período de esto?

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Sólo hacemos algunos comentarios.

$1.$ Tenga en cuenta que $2\pi$ es un periodo de $\sin x$ o, de forma equivalente, $1$ es un periodo de $\sin(2\pi x)$ .

Pero $\sin x$ tiene muchos otros periodos, como $4\pi$ , $6\pi$ y así sucesivamente. Sin embargo, $\sin x$ no tiene periodo (positivo) más corto que $2\pi$ .

$2.$ Si $p$ es un periodo de $f(x)$ y $H$ es cualquier entonces $p$ es un periodo de $H(f(x))$ . Así que en particular, $2\pi$ es a período de $\sin^2 x$ . Sin embargo, $\sin^2 x$ tiene un periodo menor que $2\pi$ , a saber $\pi$ . Tenga en cuenta que $\sin(x+\pi)=-\sin x$ Así que $\sin^2(x+\pi)=\sin^2 x$ . Resulta que $\pi$ es el periodo más corto de $\sin^2 x$ .

$3.$ Para las sumas y los productos, la situación general es complicada. Sea $p$ sea un período de $f(x)$ y que $q$ sea un período de $g(x)$ . Supongamos que hay enteros positivos $a$ y $b$ tal que $ap=bq=r$ . Entonces $r$ es un periodo de $f(x)+g(x)$ y también de $f(x)g(x)$ .

Así, por ejemplo, si $f(x)$ tiene $5\pi$ como punto, y $g(x)$ tiene $7\pi$ como un punto, entonces $f(x)+g(x)$ y $f(x)g(x)$ cada uno tiene $35\pi$ como un punto. Sin embargo, aunque $5\pi$ es el período más corto de $f(x)$ y $7\pi$ es el periodo más corto de $g(x)$ el número $35\pi$ no tiene por qué ser el periodo más corto de $f(x)+g(x)$ o $f(x)g(x)$ .

Ya tuvimos un ejemplo de este fenómeno: el periodo más corto de $\sin x$ es $2\pi$ mientras que el periodo más corto de $(\sin x)(\sin x)$ es $\pi$ . He aquí un ejemplo más dramático. Dejemos que $f(x)=\sin x$ y $g(x)=-\sin x$ . Cada función tiene el período más pequeño $2\pi$ . Pero su suma es la $0$ -que tiene cada número positivo $p$ como un punto.

$4.$ Si $p$ y $q$ son períodos de $f(x)$ y $g(x)$ respectivamente, entonces cualquier múltiplo común de $p$ y $q$ es un periodo de $H(f(x), g(x))$ para cualquier función $H(u,v)$ en particular cuando $H$ es la adición y cuando $H$ es la multiplicación. Así que el mínimo común múltiplo de $p$ y $q$ si existe, es un periodo de $H(f(x),g(x))$ . Sin embargo, no es necesario que sea el El más pequeño período.

$5.$ Los periodos pueden mostrar un comportamiento bastante extraño. Por ejemplo, dejemos que $f(x)=1$ cuando $x$ es racional, y dejemos que $f(x)=0$ cuando $x$ es irracional. Entonces todo racional positivo $r$ es un periodo de $f(x)$ . En particular, $f(x)$ es periódica pero no tiene un periodo más corto.

$6.$ A menudo, la suma de dos funciones periódicas no es periódica. Por ejemplo, dejemos que $f(x)=\sin x+\cos 2\pi x$ . El primer término tiene periodo $2\pi$ el segundo tiene periodo $1$ . La suma no es un punto. El problema es que $1$ y $2\pi$ son inconmensurable . No existen enteros positivos $a$ y $b$ tal que $(a)(1)=(b)(2\pi)$ .

Answer 2

Si se supone que hay que encontrar el período de la suma de dos funciones tales que, $f(x)+g(x)$ dado ese periodo de $f$ es $a$ y el período de $g$ es $b$ entonces período de total $f(x)+g(x)$ será $\operatorname{LCM} (a,b)$ . Pero esta técnica tiene algunas limitaciones, ya que no dará respuestas correctas en algunos casos. Uno de esos casos es, si se toma $f(x)=|\sin x|$ y $g(x)=|\cos x|$ , entonces el período de $f(x)+g(x)$ debe ser $\pi$ según la norma anterior, pero, el período de $f(x)+g(x)$ no es $\pi$ pero $\pi/2$ . Así que en general es muy difícil identificar las respuestas correctas para las preguntas relacionadas con el período. La mayoría de los casos el gráfico ayudará.