Resultados sobre el orden de un grupo que obliga a una propiedad determinada.

Question

Dado un grupo de orden $n$ donde $n$ es un número específico, o un número de una forma particular, por ejemplo, libre de cuadrados, ¿cuándo $n$ determinar completamente una propiedad de grupo particular entre todos los grupos de ese orden? El wiki de la teoría de grupos de Vipul tiene varios fragmentos sobre este tema, y en el lenguaje de su wiki, llamaré a esto un $P$ -número de aplicación, donde $P$ es una propiedad particular de la teoría de grupos.

Ya tenemos bastantes ejemplos fáciles, por ejemplo, los pedidos $pq$ , $pqr$ y $p^2q$ forzar la solvencia, y $p^2$ fuerzas abelianas. Luego hay resultados más específicos como que el 99 es un número de fuerza abeliana.

Estoy interesado, en general, en cualquier resultado de este tipo más allá de lo que se consideraría un resultado común en un libro estándar de teoría de grupos de nivel de posgrado.

Answer 1

Se conocen los números n tales que todo grupo de orden n es cíclico, abeliano, nilpotente, supersoluble o soluble. La mayoría se describen en un estudio de fácil lectura:

Pakianathan, Jonathan; Shankar, Krishnan. "Números nilpotentes". Amer. Math. Monthly 107 (2000), no. 7, 631-634. MR 1786236 DOI: 10.2307/2589118

Si quieres ir más allá de resultados como éste, puede que tengas más suerte mirando una versión algo más refinada del orden: el tipo de isomorfismo de los subgrupos Sylow. A veces un grupo p P tiene la propiedad de que cada grupo G que lo contiene como un p-subgrupo de Sylow tiene un subgrupo normal Q de orden coprimo a p tal que G es el producto semidirecto de P y Q. Una versión fácil de esto que aparece en muchos textos de teoría de grupos es que si n=4k+2, entonces en cada grupo G de orden n hay un subgrupo normal Q de orden 2k+1 tal que G es el producto semidirecto de cualquiera de sus 2-subgrupos de Sylow y Q.

Los grupos cuyos subgrupos Sylow p son cíclicos tienen muy buenas propiedades, subsumiendo las de los grupos de orden libre de cuadrados. Los grupos cuyos Sylows son abelianos tienen más flexibilidad, pero siguen estando básicamente bajo control.

Answer 2

Uno muy famoso es el teorema de Feit-Thompson: Si n es impar, entonces G es soluble. Aunque supongo que esto es declaró (pero no demostrado) en los más modernos textos de álgebra.

Answer 3

Todavía no he tenido tiempo de leerlo, pero La influencia del tamaño de las clases de conjugación en la estructura de los grupos finitos parece hecho a medida para responder a estas preguntas. Además, es un artículo de encuesta.

Answer 4

Mi primer teorema de teoría del grupo original es de este tipo, aunque no puedo garantizar que este hecho no se observó previamente. El resultado (fácil) es este:

Que $|G| = p^3q$, donde $p$ y $q$ son números primos. $G$ Tiene un subgrupo de Sylow normal a menos que $|G| = 24$. (De hecho, el grupo simétrico $S_4$ es el único grupo excepcional de orden $24$.)

Answer 5

$(n,\phi(n)) = 1$ fuerzas $G$ cíclica. $p^nq^m$ fuerzas $G$ soluble.