¿Cómo puedo calcular el $\alpha=\arccos\left(-\frac{1}{4}\right)$ sin usar una calculadora?

Question

¿Cómo puedo calcular el $\alpha$, sin usar una calculadora?
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

¿Sé que $x = -\frac{1}{4} \implies y= \frac{\sqrt{15}}{4}, $ ahora cómo puedo calcular el $$\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) = \alpha,\quad \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = (180° - \alpha),$ $ sin usar una calculadora? ¿Cómo hicieron los griegos para calcular el ángulo?

Answer 1

Usted puede leer los dígitos binarios de $\arccos(x)/\pi$ de descuento en los signos de $2\cos(2^kx)$, por lo que es fácil para calcular la secuencia definida recursivamente con $x_{n+1} = x_n^2-2$.

Más precisamente, de poner un $1$ dígitos cuando el producto de los signos hasta el momento es negativo, y un $0$ lo contrario :

$\begin{matrix}x_0 & -1/2 & - & - \\ x_1 &-7/4 & - & + \\ x_2 & 17/16 & + & + \\ x_3 & -223/256 & - & - \end{de la matriz}$

Ahora esto empieza a ser difícil porque squareing $3$ número de dígitos es un montón de trabajo duro, así que me aproximan más o menos a las fracciones con $2$ dígitos numeradores y denominadores.

$\begin{matrix} -23/25 & & & \le x_3 \le & & & -11/13 & - & - \\ -11/8 & \le & -217/169 & \le x_4 \le & -721/625 & \le& -8/7 & - & + \\ -34/49 & \le & -34/49 & \le x_5 \le & -7/64 & \le & -7/64 & - & - \\ -2 & \le & -8143/4096 & \le x_6 \le & -3646/2401 & \le & -36/25 & - & + \\ 4/63 & \le & 46/625 & \le x_7 \le & 2 & \le & 2 & + & + \\ \end{de la matriz}$

Y ahora esto es demasiado imprecisa para continuar.

Hasta ahora tengo el acumulado de signo secuencia $(-,+,+,-,+,-,+,+)$, por lo que el ángulo entre el $(2^{-1}+2^{-4}+2^{-6})\pi$ $(2^{-1}+2^{-4}+2^{-6}+2^{-8})\pi$

En grados de reemplazar $\pi$$180$, por lo que se $104.06\ldots$ $104.77\ldots$

Answer 2

Ahora, utilizando un "lineal-crunch' método de interpolación con el 'Hiparco Trig Tabla De Simulación".

Los antiguos Griegos no utilizar el concepto de función, ni tampoco el uso de Coordenadas Cartesianas para el Plano Euclidiano, pero eso no les impidió hacer grandes avances en la ciencia.

Hiparco fue un astrónomo griego, y ahora es llamado el "padre de la trigonometría"; él era el primer para tabular los valores correspondientes de arco y acorde para una serie de ángulos. Buscando en la web, podemos describir su contribución con este alto nivel (moderno) resumen:

Hiparco creado trigonometría tablas por la inscripción de un 48 cara polígono regular en el círculo unidad, permitiendo a los científicos a utilizar la interpolación lineal para aproximar los ángulos.

El 48-gon central ángulos de $7.5°$ ($\frac{30°}{4}$) con $1,080$ diagonales (acordes); ver Wolfram.

Por tanto, y dado que el OP pregunta de Hiparco sería como los datos de su tabla para encontrar el correspondiente diagonales y luego aproximado del ángulo.

Sus obras/tablas se han perdido por lo que no podemos utilizar aquí.

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Pensé que sería divertido crear un 48-gon '$\mathbb R \times \mathbb R$ coordinar la mesa' y para resolver el OP del problema mediante la interpolación lineal. He utilizado hojas de cálculo de google para crear un (realmente exactos) de la mesa y miró a los datos para encontrar que el ángulo de $\alpha$ fue entre el 97,5° y 105°. Yo se aproxima al ángulo usando "perezoso $x$" interpolación y consiguió $\alpha \approx 104.4844°$.

Aquí está una captura de pantalla:

Aquí se interpolan con sólo la coordenada x. Este enfoque dio una muy buena aproximación desde la 'carne del movimiento' fue en el $x$ coordinar.

La coordenada $(-.25, \frac{\sqrt{15}}{4})$ se encuentra entre dos puntos de la 48-gon y usted puede calcular las longitudes de los dos 'correspondiente de la división de segmentos. En el 'lineal $x$' interpolación, la "interpolación factor' se $0.9312585$, pero cuando se combinan/crunch tanto el $x$ $y$ coordenadas (ver más abajo), se obtiene un factor de $0.9302951$, y que le da un muy precisa aproximación de

$\alpha \approx 104.4772°$

en comparación con el verdadero valor de $\alpha = 104.4775\ldots °$.

Si usted desea ver los nuevos y mejorados) hoja de cálculo de fórmulas de interpolación en acción, haga clic en este; aquí es el lineal-crunch interpolación matemática:

Vamos $C_0$, $C_1$ ser adyacentes vértices de la 48-gon inscrito en el círculo unidad de $\mathbb R^2$, con los correspondientes ángulos de $\alpha_0$ $\alpha_1$ $\alpha_1 - \alpha_0 = 7.5°$ y deje $(x,y)$ estar en el círculo unidad y entre la $C_0$$C_1$.

Deje $S_0$ ser la longitud de la cuerda segmento de línea de unirse a $C_0$$(x,y)$.
Deje $S_1$ ser la longitud de la cuerda segmento de línea de unirse a $C_1$$(x,y)$.
Deje $S = S_0 + S_1$
Deje $R_0 = \frac{S_0}{S}$
Deje $R_1 = \frac{S_1}{S}$

Luego aproximado del ángulo de $\alpha$ $(x,y)$ con esta interpolación:

$\alpha \approx R_0 \, \alpha_0 + R_1 \, \alpha_1$

No debería sorprender que para calcular $arccos$ ($x$ coordinar), utilizando un trig tabla, los mejores resultados se obtienen mediante la búsqueda de $arcsin$ ($y$ coordenadas) al mismo tiempo, usando el círculo de la geometría.

Me pregunto si los griegos antiguos astrónomos, como Ptolomeo, similar lineal-crunch técnicas de interpolación, el cálculo de raíces cuadradas en su ángulo algoritmo de aproximación.

Answer 3

Yo tengo una idea. se sabe que los antiguos Griegos fueron capaces de calcular la bisecar un ángulo con regla y compás o una regla. A través de este método se puede encontrar una óptica de aproximación a Punt $-\frac{1}{4}$ interpolando:

De esta manera se puede calcular fácilmente con la mano una buena aproximación para el ángulo de $\beta$

\begin{align}\beta&\approx 90\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \frac{1}{32} - \frac{1}{64}\right]\\ &= 90\left[\left(\frac12+\frac14+\frac18 +\frac1{32}\right)-\left(\frac1{16} + \frac1{64}\right)\right]\\ &=90\left[\frac{29}{32} - \frac{5}{64} \right]\\ &=90\left[\frac{53}{64}\right] \\ &=\quad\frac{4770}{64}\\ &=\quad 74,53^° \end{align}

$$\alpha \approx (180^° - 74,53^°) = 105.46^°$$

No creo que este simple método ha sido desconocido para los Griegos.

Answer 4

Esta respuesta hace uso de la Aproximación de Ángulo Pequeño para $\sin$ y radian las medidas de los ángulos. Esto último no era conocida por los Griegos. No estoy seguro de si el pequeño ángulo de aproximación era conocido para ellos de alguna manera.

Nuestro método de aproximación tiene la ventaja de que puede muy fácilmente ser hecho sin una calculadora, a pesar de que el término de error no se han conocido hasta la época clásica de la India las matemáticas y la astronomía

Buscamos una $\alpha$ tal que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{4}$. Una rápida investigación nos muestra que $\alpha$ se encuentra en el segundo cuadrante (es decir,$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Deje $\alpha = \frac{\pi}{2} + \beta$. Vamos a usar la identidad de $\cos(\frac{\pi}{2} + \beta) = -\sin(\beta)$.

Luego buscamos un $\beta$ tal que $\sin(\beta) = \frac{1}{4}$. Haciendo uso de la aproximación lineal para $\sin$, nos encontramos con $\beta \approx \frac{1}{4}$. Por lo tanto $\alpha \approx \frac{\pi}{2} + \frac{1}{4}$.

La conversión a grados da $\alpha \approx 90^{\circ} + \frac{45}{\pi}^{\circ}$. Podemos usar la aproximación $\pi \approx \frac{22}{7}$ y la división larga para obtener

$$\frac{45}{\pi} \approx \frac{315}{22} = 14.3\overline{18}$$

Nos da la aproximación $$\alpha \approx 104.32^{\circ}$$ Esto no está lejos del verdadero valor

$$\alpha = 104.4775\ldots^{\circ}$$

Answer 5

Así se encontró que el ángulo es el argumento de $-1+\sqrt{15}i$. Como en el II. cuadrante, puede quitar $90°$ a partir de ella y llegar a un punto en el primer cuadrante, $$ α=90°+\arg((-1+\sqrt{15}+i)(-i))=\arg(\sqrt{15}+i). $$ Luego elevando al cuadrado (y la eliminación de positivos factores comunes), el ángulo es el doble, $$ α=90°+\frac12\arg(7+\sqrt{15}i) $$ Ahora $7^2$ está cerca de a $3⋅15$ lo que significa que este ángulo es de cerca de $30°=\arg(\sqrt3+i)$. Calculando la diferencia para que el ángulo de da \begin{align} α&=105°+\frac12\arg((7+\sqrt{15}i)(\sqrt3-i))=105°+\frac12\arg(\sqrt{3}(\sqrt5+7)-(7-3\sqrt{5})i)\\ &\underline{=105°-\frac12\arg(\sqrt{3}(7\sqrt5+16)+i)}. \end{align}

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Como $7\sqrt5=\sqrt{16^2-11}\approx 16-\frac{11}{32}$ esto significa que por lo menos el número 32 de energía, seguramente uno anterior, de $\sqrt{3}(7\sqrt5+16)+i$ cruza por encima de la $30°$ línea. La reducción de $105°$ es por lo tanto un poco más grande que $\frac{15°}{32}$, dando el ángulo de $α$ todo tiende un poco por debajo de $$\underline{α⪅104.5°}.$$

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Para ser un poco más precisos, habría que calcular los poderes. El uso de $\epsilon=(\sqrt{3}(7\sqrt5+16))^{-1}$, se obtiene \begin{array}{r|l} k&\frac12(\sqrt3-i)(1+ϵi)^k\\\hline 27& 1.00401311706-0.0313008181359i\\ 28& 1.00458405300-0.0129873299181i\\ 29& 1.00482094563+0.0053365723355i\\ 30& 1.00472360502+0.0236647955789i\\ 31& 1.00429195233+0.0419912433015i\\ 32& 1.00352601997+0.0603098175549i\\ \end{array} que le da el cruce por cero interpolados en torno $k=28+\frac23$ y el ángulo de estimar como $$ \underline{α\simeq 105°-\frac{15°}{28+\frac23}=104.4767...°} $$