Cubriendo el mapa de la línea real de la unidad círculo con el seno y el coseno

Question

Estoy leyendo Munkres' Topología, y en la página 337, él le da a la prueba del teorema que $p:\mathbb{R}\to S^1$ $p(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$ es una cubierta mapa. Parte de la prueba que dice:

Considerar el subconjunto $U$ $S^1$ consiste de los puntos positivos primera coordenada. El conjunto $p^{-1}(U)$ se compone de los puntos de $x$ que $\cos 2\pi x$ es positivo; es decir, es la unión de los intervalos $$ V_n = (n-\tfrac{1}{4}, n+\tfrac{1}{4}) $$ para todos los $n\in\mathbb{Z}$. Ahora, restringido a cualquier intervalo cerrado $\overline{V}_n$, el mapa de $p$ es inyectiva... Desde $\overline{V}_n$ es compacto, $p|\overline{V}_n$ es un homeomorphism de $\overline{V}_n$$\overline{U}$.

No entiendo la última parte. Lo que hace la compacidad de $\overline{V}_n$ tienen que ver con el hecho de que $p|\overline{V}_n$ es un homeomorphism?

Answer 1

Hay un teorema de punto-establecer la topología de que un bijection de un espacio compacto de un espacio de Hausdorff es un homeomorphism.

La prueba es muy bonita (uno de mis favoritos en el punto-establecer la topología!): deje $f$ ser un mapa. Queremos mostrar que $f$ es una carta abierta. Esto significa, queremos mostrar que $f(O)$ está abierto para cualquier conjunto abierto $O$. Bueno, si $O$ está abierto, $O^C$ es cerrado, y cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto, por lo $O^C$ es compacto, y por lo tanto, $f(O^C)$ es compacto. Pero en un espacio de Hausdorff compacto implica cerrado, por lo $f(O^c)$ es cerrado. A continuación, $f(O^c)^c$ está abierto. Por bijectivity, tenemos

$$f(O) = f(O^c)^c$$

así que hemos terminado.