La evaluación de la integral de la $\int_0^1 \frac{\ln(1 - x)}{1 + x}dx$

Question

¿Cómo puedo evaluar la integral $$\int_0^1 \frac{\ln(1 - x)}{1 + x}dx$$ He intentado manipular el conocido integral $$\int_0^1 \frac{\ln(1 - x)}{x}dx = -\frac{\pi^2}{6}$$ pero no podía hacer nada con ella.

Answer 1

Usted puede utilizar el doble de la integración:

$$\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{{1 + x}}dx} = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{ - x} {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {1 + u} \right)\left( {1 + x} \right)}}} } $$

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^x {\frac{{dm \cdot dx}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}} } $$

Ahora hacer

$$m = ux $$

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{x \cdot du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}} } = \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)}}} } - \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)\left( {1 + x} \right)}}} } $$

Tenemos que (parcial fracción de descomposición)

$$\frac{1}{ \left( ux - 1 \right)\left( x + 1 \right) } = \frac{u}{ \left( u + 1 \right)\left( ux - 1 \right) } - \frac{1}{ \left( x + 1 \right)\left( u + 1 \right) }$$

Así, obtenemos

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)}}} } - \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{u \cdot du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} } + \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} } $$

Ahora:

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du \cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)}}} } = \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - u} \right)}}{u}} du = - \frac{{{\pi ^2}}}{6}$$

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{du\cdot dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} } = {\log ^2}2$$

Para nuestra última nota es la integral que estamos buscando

$$\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{u\cdot du\cdot dx}}{{\left( {ux - 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} \mathop = \limits^{ux = m} } \int\limits_0^1 {\int\limits_0^u {\frac{{dm\cdot du}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} } \mathop = \limits^{m = - x} \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{ - u} {\frac{{dx\cdot du}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {u + 1} \right)}}} } = \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - u} \right)}}{{ {u + 1} }}} du$$

Tenemos

$$\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - u} \right)}}{{ {u + 1} }}} du = {\log ^2}2 - \frac{{{\pi ^2}}}{6} - \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - u} \right)}}{{ {u + 1} }}} du$$

o

$$\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - u} \right)}}{{{u + 1} }}} du = \frac{{{{\log }^2}2}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{12}}$$

como se desee.

Answer 2

Puede utilizar la integral desea utilizar, y la Dilogarithm función de como se menciona en los comentarios.

A continuación damos una completa prueba, incluyendo una derivación del valor de la integral que quería usar.

El Dilogarithm función se define como

$$\text{Li}_2(z) = -\int_{0}^{z} \frac{\log (1-x)}{x} \text{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n^2}, \quad |z| \le 1$$

La integral que desea utilizar es $\displaystyle -\text{Li}_2(1)$.

Tenga en cuenta que $\displaystyle \text{Li}_2(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$. (Para múltiples pruebas de ello, ver aquí: Diferentes métodos para calcular los $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$)

En su integral(cuyo valor desea), hacer la sustitución $\displaystyle x = 2t -1$ y obtenemos

$$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\log (2(1-t))}{t} \text{dt} = \log^2 2 + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\log (1-t)}{t} \text{dt} = \log^2 2 + \text{Li}_2 \left(\frac{1}{2} \right) - \text{Li}_2(1) $$

Ahora el Dilogarithm función también satisface la identidad

$$\text{Li}_2(x) + \text{Li}_2(1-x) = \frac{\pi^2}{6}-\log x \log (1-x), 0 \lt x \lt 1$$

Esta identidad puede ser fácilmente comprobado por sólo diferenciar y utilizar el valor de $\displaystyle \text{Li}_2(1)$:

$$\text{Li}_2'(x) - \text{Li}_2'(1-x) = -\frac{\log (1-x)}{x} + \frac{\log x}{1-x} = (-\log x \log (1-x))'$$

y así $$\text{Li}_2(x) + \text{Li}_2(1-x) = C -\log x \log (1-x), 0 \lt x \lt 1$$

Tomando límites de $\displaystyle x \to 1$ nos da $\displaystyle C = \frac{\pi^2}{6}$.

Así

$$\text{Li}_2(x) + \text{Li}_2(1-x) = \frac{\pi^2}{6}-\log x \log (1-x), 0 \lt x \lt 1$$

Establecimiento $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ nos da el valor de $\displaystyle \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{\log^2 2}{2}$

Por lo tanto su integral es

$$\log^2 2 + \text{Li}_2 \left(\frac{1}{2} \right) - \text{Li}_2(1) = \frac{\log^2 2}{2} - \frac{\pi^2}{12}$$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{1}{\ln\pars{1 - x} \over 1 + x}\,\dd x = -\,{\pi^{2} \over 6}:\ {\large ?}}$

\begin{align} &\color{#c00000}{\int_{0}^{1}{\ln\pars{1 - x} \over 1 + x}\,\dd x} =\int_{0}^{1}{\ln\pars{x} \over 2 - x}\,\dd x =\int_{0}^{1/2}{\ln\pars{2x} \over 1 - x}\,\dd x \\[3mm]&= \overbrace{\left.\vphantom{\Huge a}-\ln\pars{1 - x}\ln\pars{2x}\right\vert_{0}^{1/2}} ^{\ds{=\ 0}}\ +\ \int_{0}^{1/2}\ln\pars{1 - x}\,{1 \over x}\,\dd x =\color{#c00000}{-\int_{0}^{1/2}{{\rm Li}_{1}\pars{x} \over x}\,\dd x} \end{align} donde $\ds{{\rm Li_{s}}\pars{z}}$ es el PolyLogarithm Función. Que ya se usó $\ds{{\rm Li_{1}}\pars{z} = -\ln\pars{1 - z}}$.

Con la identidad ( ver el enlace mencionado arriba ) $\ds{{\rm Li_{s + 1}}\pars{z} = \int_{0}^{z}{{\rm Li_{s}}\pars{t} \over t}\,\dd t}$ vamos a tener: $$ \color{#c00000}{\int_{0}^{1}{\ln\pars{1 - x} \over 1 + x}\,\dd x} =\color{#c00000}{-{\rm Li_{2}}\pars{\mitad}} $$

También, ( ver el enlace mencionado arriba ) $\ds{{\rm Li_{2}}\pars{\half} = {\pi^{2} \over 12} - \half\,\ln^{2}\pars{2}}$ que es una consecuencia de

Euler Reflexión Fórmula $\ds{{\rm Li_{2}}\pars{x} + {\rm Li_{2}}\pars{1 - x} ={\pi^{2} \over 6} -\ln\pars{x}\ln\pars{1 - x}}$.

$$ \color{#00f}{\large\int_{0}^{1}{\ln\pars{1 - x} \over 1 + x}\,\dd x =\media\,\ln^{2}\pars{2} - {\pi^{2} \más de 12}} $$

Answer 4

Arce dice que es $${(\log2)^2\over2}-{\pi^2\over12}$$ A llegar, creo que se tiene que entender cómo el conocido integral cita fue establecido, y, a continuación, utilizar las mismas ideas a la suya (tal vez después de la primera después de Emile los cálculos).

Answer 5

Nota: esta no es una solución completa, pero puede servir como un motor de arranque

Primero vamos a $2u=x+1$ e lo $2du=dx$. Entonces tenemos: $$\int_0^1\frac{\ln(1-x)}{1+x}dx=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln(2-2u)}{2u}2du$$ $$=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln(2(1-u))}{u}du=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln2+\ln(1-u)}{u}du$$ $$=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln2}{u}du+\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\ln(1-u)}{u}du$$