Deje $a$ ser una raíz de la cúbico $x^3-21x+35=0$. Demostrar que $a^2+2a-14$ es una raíz de la cúbico.

Question

Deje $a$ ser una raíz de la cúbico $x^3-21x+35=0$. Demostrar que $a^2+2a-14$ es una raíz de la cúbico.

Mi esfuerzo

Trabajando hacia atrás dejé $P(x)$ ser un polinomio con raíces $a,a^2+2a-14$$r$. Por lo tanto, $$P(x)=(x-a)(x-r)(x-(a^2+2a-14))$$

La expansión, me sale

$$P(x) =(x^2-(a+r)x+ar)(x-(a^2+2a-14)) $$ $$P(x) =x^3+x^2[-(a^2+2a-14)-(a+r)]+x[(a+r)(a^2+2a-14)+ar]-ar(a^2+2a-14)$$ Igualando los coeficientes de $P(x)$ con el dado cúbico $x^3-21x+35=0$ tengo el siguiente sistema de ecuaciones : \begin{array} \space (a^2+2a-14)+(a+r)&=0 \\ (a+r)(a^2+2a-14)+ar&=-21 \\ -ar(a^2+2a-14)&=35 \\ \end{array}

A partir de la primera ecuación he a $(a^2+2a-14) =-(a+r) $ que, sustituido en las otras dos ecuaciones ,se obtiene

\begin{array} \space -(a+r)^2+ar &=-21 \\ ar(a+r) &=35 \\ \end{array}

Reorganización de la segunda ecuación para $ar$ he $ar=\cfrac{35}{(a+r)}$ que ahora sustituye en la primera ecuación. para obtener:

\begin{array} \space -(a+r)^2+\cfrac{35}{(a+r)}&=-21 \\ -(a+r)^3+35 +21(a+r) &=0 \\ \end{array}

Mi problema ahora es que la última ecuación se ve bastante maldito cerca de $x^3-21x+35=0$ , pero algunos de los signos no están en el lugar correcto,lo que hace que me pregunto si he hecho algunos descuidado error(ya lo he comprobado pero yo no lo veo) o si me he dejado algunas manipulaciones algebraicas para hacer.

Answer 1

Es mucho más fácil simplemente enchufe en $x=a^2+2a-14$ a $P(x)$ y ver \begin{align} x^3-21x+35&=(a^2+2a-14)^3-21(a^2+2a-14)+35\\ &=(35-21a + a^3) (-69 - 9 a + 6 a^2 + a^3)\\ &=0\cdot (-69 - 9 a + 6 a^2 + a^3)\\ &=0 \end{align} Tenga en cuenta que factorización no es demasiado difícil, ya que ya "sabe" que uno de los factores se $35-21a + a^3$.

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Ahora, ¿dónde ir mal? Tenía $(a+r)^3-21(a+r)-35=0$. Este hecho se ve muy parecidos $P(x)$, pero no del todo. De que no haya ningún error en su álgebra, que asumió $a+r$ sería una raíz de $P$, lo que no es (necesariamente). Pero, cuando la escritura \begin{align} Q(x)&=x^3+px^2+qx+r\\ &=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma \end{align} luego se verá, cuando se $p$, el coeficiente de $x^2$$0$, (que es, en su caso, de $P(x)$), luego las raíces agregar a a $\alpha+\beta+\gamma=-p=0$, lo $a+r$ es el negativo de una raíz! Ahora queda claro que $(a+r)^3-21(a+r)-35=0$, ya sabemos $(-(a+r))^3-21(-(a+r))+35=0$.

Answer 2

Dado que el término en $x^2$ falta, la suma de las tres raíces es igual a cero; por lo $a^2+2a-14$ es una raíz si y sólo si $-a-(a^2+2a-14)=-a^2-3a+14$ es también una raíz.

Desde $$ (x-a^2-2a+14)(x+a^2+3a-14)=x^2+ax-a^4 - 5a^3 + 22a^2 + 70a - 196 $$ y el resto de $-t^4 - 5t^3 + 22t^2 + 70t - 196$ dividido por $t^3-21t+35$$t^2-21$, tenemos $$ (x-a^2-2a+14)(x+a^2+3a-14)=x^2+ax+a^2-21 $$ así \begin{align} (x-a)(x-a^2-2a+14)(x+a^2+3a-14) &=(x-a)(x^2+ax+a^2-21)\\ &=x^3-21x-a^3+21a\\ &=x^3-21x+35 \end{align} es la factorización.