Determinar todos los poliedros convexos con $6$ caras

Question

Quiero determinar todos los poliedros convexos con 6 caras ( no necesariamente regular). Basado en la característica de Euler, $v-e+f=2$ sabemos que $v-e+6=2$ o $v+4=e$ . Dejemos que $n_i$ sea el número de aristas en el $i$ la cara. Entonces $\sum n_i=2e$ . Cada cara tiene al menos $3$ bordes, por lo que cada $n_i \geq 3$ . Ninguna cara puede tener más de $5$ bordes (porque si hubiera una cara hexagonal, tendría que encontrarse con $6$ otras caras distintas, haciendo que haya más de $6$ total de caras). Así que cada $n_i \leq 5$ .

Sabemos que hay al menos $5$ vértices, ya que el único poliedro convexo con $4$ vértices es el tetraedro. Como ninguna cara tiene más de $5$ bordes, ninguna cara tiene más de $5$ vértices. Por lo tanto, hay como máximo $5 \cdot 6 = 30$ vértices, pero esto sobre cuenta. Cada vértice es incidente en al menos $3$ caras, por lo que se cuenta al menos $3$ tiempos. Así obtenemos el límite superior $v \leq 30/3=10$ .

Así, $5 \leq v \leq 10$ y utilizando la característica de Euler obtenemos $9 \leq e \leq 14$ Así que $18 \leq 2e = \sum n_i \leq 28$ . A partir de aquí podemos considerar secuencias de $n_i$ que pueden ser válidos, recordando que su suma debe ser par y $3 \leq n_i \leq 5$ . Las posibilidades son:

1. $(3,3,3,3,3,3)$
2. $(3,3,3,3,3,5)$
3. $(3,3,3,3,4,4)$
4. $(3,3,3,3,5,5)$
5. $(3,3,3,4,4,5)$
6. $(3,3,3,5,5,5)$
7. $(3,3,4,4,5,5)$
8. $(3,4,4,4,4,5)$
9. $(3,4,4,5,5,5)$
10. $(3,5,5,5,5,5)$
11. $(4,4,4,4,4,4)$
12. $(4,4,4,4,5,5)$
13. $(4,4,5,5,5,5)$

La 1 es la bipirámide triangular, la 2 es la pirámide pentagonal, la 3 no sé cómo se llama pero se realiza en la imagen de abajo "sacando" una cara triangular de la pirámide cuadrada. El 5 se realiza cortando un vértice inferior de la pirámide cuadrada, el 7 se realiza cortando dos vértices de un tetraedro y el 11 es nuestro amigo el cubo.

Mis amigos y yo pensamos que el resto no es posible. Ten en cuenta que cualquier cara pentagonal debe tocar todas las demás caras. Si empiezas a dibujar una red para el número 4, te das cuenta de que tienes dos pentágonos que se tocan, y cuando empiezas a rellenar triángulos no puedes conseguir que se cierre con sólo cuatro triángulos. Tres o más pentágonos tampoco funcionarán (hemos considerado diferentes formas en las que tres pentágonos podrían tocarse, y hay demasiadas aristas para rellenar el resto del poliedro con sólo tres caras más). Esto descarta los números 6, 9, 10 y 13. Con un argumento similar al del número 4, nos convencimos de que el número 12 tampoco puede darse. Por último, la red del número 8 tendría que tener el aspecto de un pentágono con cuadriláteros en cuatro caras y un triángulo en la quinta, lo que no cerraría en un poliedro. Estas son nuestras preguntas:

1. ¿Es la figura anterior realmente una lista exhaustiva de poliedros convexos con $6$ ¿caras? ¿Se puede encontrar esta lista en algún sitio? (La mayoría de las listas que he encontrado en Internet no son exhaustivas o sólo enumeran poliedros regulares).

2. ¿Cualquier secuencia válida de $n_i$ corresponden únicamente a un poliedro convexo (hasta la cizalladura, la rotación, la reflexión, etc.)?

3. ¿Hay argumentos más fáciles para descartar las secuencias de $n_i$ que no puede ocurrir? Los argumentos que utilizamos (que no he escrito rigurosamente aquí) se basan en mucho análisis de casos.

Answer 1

En Poliedros canónicos . puedes obtener los siete hexaedros y sus duales. Estos son tus 11, 2, 1, 3, XX, 7, 4. Te falta el caso (3,3,4,4,4). Vertices {{-0.930617,0,-1.00},{0.930617,0,-1.00},{-0.57586,-0.997418,0.07181},{0.57586,-0.997418,0.07181},{-0.57586,0.997418,0. 07181},{0.57586,0.997418,0.07181},{0,0,1.81162}}, with faces {{1,2,6,5},{1,3,4,2},{1,5,7,3},{2,4,7,6},{3,7,4},{5,6,7}}}

Otro punto de vista

Una forma de demostrar que las tienes todas es empezar con el gráfico de la pirámide / 5 ruedas. El pentágono con puntos conectados al centro. A gráfico poliédrico es un grafo plano que tiene 3 conexiones (no hay ningún conjunto de 3 vértices que desconecte el grafo).

Mediante la división y fusión repetida de vértices, todos los poliedros de n caras pueden derivarse de la pirámide de n caras. Falta la forma que fusiona dos esquinas vecinas de un cubo. Se trata de Teorema de la rueda de Tutte . Así es como se conectan los gráficos hexaédricos.

Poliedros canónicos tiene código e imágenes.