Dual Números y Infinitesimal Barrio

Question

Deje $X$ ser un buen esquema sobre un campo $k$$D=\operatorname{Spec}(k[t]/t^2)$, el doble de los números. Uno sabe que para dar una k-racionales punto en $X$ y un vector tangente en este punto es equivalente a dar un $k-$morfismos $D\rightarrow X$.

Si uno tiene un punto de cierre en $X$ ideal de la gavilla $J$, entonces uno también puede considerar la primera infinitesimal vecindario $Y$ de ese punto en $X$, que es el cerrado subscheme o $X$ ideal de la gavilla $J^2$.

Mi pregunta: ¿existe alguna relación entre el $Y$ $D$ si tengo un morfismos $D\rightarrow X$ como el anterior? Parece como $D$ es la primera inf. relincho. de su propio punto de cierre.

Answer 1

Los morfismos $\phi:D\to X$ va para el factor a través de $Y\to X$.

De hecho, usted puede reducir a $X = \operatorname{Spec}(A)$. Su morfismos corresponde a $\phi^\sharp : A \to k[t]/(t^2)$. Se asigna a $J$ a $(t)$, por lo que los mapas de $J^2$ $0$y los factores a través de $A\to A/J^2$.