Underdetermined sistemas lineales

Question

Estoy trabajando a través de una introductorio de álgebra lineal libro de texto y un ejercicio que da el sistema

$2x+3y+5z+2w=0$

$-5x+6y-17z-3w=0$

$7x-4y+3z+13w=0$

Y se pregunta por qué, sin hacer ningún cálculo, tiene una infinidad de soluciones. Ahora, un ejercicio anterior da el mismo sistema sin la cuarta columna y se pregunta por qué, sin ningún tipo de cálculo, se puede decir que es coherente, y me di cuenta de que es porque tiene la solución trivial (0,0,0). Pero yo estoy luchando para ver cómo lo que implica que este nuevo sistema tiene infinidad de soluciones.

Hice algunas investigaciones y encontró que si un indeterminado sistema lineal tiene una solución, entonces se ha infinitamente muchos, pero las explicaciones de este parecen hablar de rango y otras cosas que no estoy familiarizado con.

Así que si alguien podría por favor explicar por qué usted puede decirle sin hacer ningún cálculo por qué este sistema tiene infinidad de soluciones (que supongo que tiene algo que ver con el anterior problema que es el mismo sólo que sin la cuarta columna de las variables) desde la perspectiva de los autores (es decir, que son sólo suponiendo que tenemos álgebra 2 en este punto en el libro) sería muy apreciada.

Answer 1

Usted puede traducir cada ecuación como un producto de punto: por ejemplo, la primera línea es $(2,3,5,2)\cdot(x,y,z,w)=0$.

Ahora, estamos en un espacio dimensional de $4$ (buscamos el vector $(x,y,z,w)$), y tenemos $3$ vectores de allí (a base de los coeficientes), por lo que éstos abarcan a más $3$ dimensiones, por lo que al menos $1$ dimensión que es ortogonal a él.

Así pues, hay todo un sistema de línea o plano (o espacio), que contiene el origen, que resuelve la ecuación.

Answer 2

Tenga en cuenta que el sistema sin la cuarta columna no sólo es consistente pero también determinada (las filas son linealmente independientes), esto significa que también el sistema: $$\begin{cases} 2x+3y+5z=-2\\ -5x+6y-17z=3\\ 7x-4y+3z=-13 \end{casos} $ es detallar, es decir tiene una solución $(x,y,z)=(a,b,c)$.

Ahora, el sistema es

$$\begin{cases} 2x+3y+5z=-2w\\ -5x+6y-17z=3w\\ 7x-4y+3z=-13w \end{casos} $$, por linealidad, tiene tan el infinitamente muchas soluciones $(x,y,z)=(aw,bw,cw) \quad \forall w \in \mathbb{R}$

Answer 3

Obviamente , $x=y=z=w=0$ es una solución. El rango de la matriz $A$ es en la mayoría de las $3$, pero tenemos $4$ columnas.

Si la solución es única, el rango de $A$ tendría que ser igual al número de columnas, que no es el caso. Por lo tanto, existe una cantidad infinita de soluciones.