Soluciones para el PDE: $2V\frac{\partial I}{\partial V}+2W\frac{\partial I}{\partial W}=I$

Question

Mientras se trabaja en la ingeniería problema, me encontré con este PDE: Vamos a $c_1,c_2$ dos números reales. Encontrar una función continua $I:\mathbb{R}_{\geq 0}\times\mathbb{R}_{\geq 0}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que

1) Para cada $V,W$, tenemos: $$I(V,0)=c_1\sqrt{V},I(0,W)=c_2\sqrt{W}$$

2) $I|\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}_{>0}$ es una función derivable que satisface:

$$2V\frac{\partial I}{\partial V}+2W\frac{\partial I}{\partial W}=I$$

Después de algunas conjeturas, yo sé que para cada $\lambda\in \mathbb{R}$, la siguiente es una solución:

$$I(V,W)=\lambda(c_1\sqrt{V}+c_2\sqrt{W})+(1-\lambda)(\sqrt{c_1^2V+c_2^2W})$$

Pregunta: ¿hay otras soluciones ?

También sería genial si alguien puede conseguir todas las soluciones.

Gracias

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Me otorgará una recompensa por valor de 500 puntos para encontrar el conjunto de todas las soluciones.

Answer 1

Introducir coordenadas polares en el plano de % de $(v,w)$: $$v=r\cos\phi,\quad w=r\sin\phi\qquad(0\leq r<\infty, \ 0\leq\phi\leq{\pi\over2})\ .$ $ entonces $$2r\ I_r=2r\>(I_vv_r+I_w w_r)=2r(I_v\cos\phi+I_w\sin\phi)=2v\>I_v+2w\>I_w=I\ .$ $ en pocas palabras: en la nuevas variables $r$ y $\phi$ el PDE original aparecen como $$2r\>I_r=I\ .$ $ las soluciones a esto son las funciones $$I(r,\phi)=c(\phi)\sqrt{r}\ ,\tag{1}$ $ donde la función $$\phi\mapsto c(\phi)\qquad(0\leq\phi\leq{\pi\over2})$$ is arbitrary. In order to satisfy the given boundary conditions you have to impose the conditions $c (0) =c_1$, $\ > c\bigl ({\pi\over2 } \bigr)=c_2$. In terms of $v$ and $w$ the functions $(1)$ aparecen como $$I(v,w)=c\bigl({\rm arg}(v,w)\bigr)\>(v^2+w^2)^{1/4}\ .$ $

Resulta que hay muchas más soluciones de lo que pensabas.

Answer 2

Dado

$$ 2 V \frac{\partial I}{\partial V} + 2 W \frac{\partial I}{\partial W} = I.\etiqueta{1} $$

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En el PDE (1) tiene la propiedad de que si $I$ es una solución de e $a$ es una función de $V/W$, $a(V/W) I$ también es una solución, como

$$ \begin{eqnarray} \left[2 V \frac{\partial}{\partial V} + 2 W \frac{\partial}{\partial W} \right] a(V/W) I &=& a(V/W) \left[2 V \frac{\partial}{\partial V} + 2 W \frac{\partial}{\partial W} \right] I\\ && + I \left[2 V \frac{\partial}{\partial V} + 2 W \frac{\partial}{\partial W} \right] a(V/W)\\ && a(V/W) I + I \left[ \frac{2V}{W} - \frac{2VW}{W^2} \right] a'(V/W)\\ &=& a(V/W) I.\tag{2} \end{eqnarray} $$

Por lo que los factores puede ser una función de la $V/W$.

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Está claro que la PDE (1) es lineal, pero tiene aún más la propiedad. Deje $I_1$ $I_2$ ser: soluciones de la PDE (1), entonces

$$ \Big( a_1 I_1^{\zeta} + a_2 I_2^{\zeta} \Big)^{1/\zeta} $$

también es una solución. Nos encontramos

$$ \begin{eqnarray} \left[2 V \frac{\partial}{\partial V} + 2 W \frac{\partial}{\partial W} \right] \Big( a_1 I_1^{\zeta} + a_2 I_2^{\zeta} \Big)^{1/\zeta} &=& \Big( a_1 I_1^{2\zeta} + a_2 I_2^{2\zeta} \Big)^{1/\zeta-1} \times\\ && \hspace{1em} \left\{ a_1 \left[2 V \frac{\partial I_1}{\partial V} + 2 W \frac{\partial I_1}{\partial W} \right] I_1^{\zeta-1} \right.\\ && \hspace{2em} \left. + a_2 \left[2 V \frac{\partial I_2}{\partial V} + 2 W \frac{\partial I_2}{\partial W} \right] I_2^{\zeta-1} \right\}\\ &=& \Big( a_1 I_1^{\zeta} + a_2 I_2^{\zeta} \Big)^{1/\zeta-1} \times \Big( a_1 I_1^{\zeta} + a_2 I_2^{\zeta} \Big)\\ &=& \Big( a_1 I_1^{\zeta} + a_2 I_2^{\zeta} \Big).\tag{3} \end{eqnarray} $$

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Para resolver el PDE (1), consideramos las coordenadas

$$ \begin{eqnarray} p &=& \ln\Big(\sqrt[4]{V}\Big) + \ln\Big(\sqrt[4]{W}\Big),\\ q &=& \ln\Big(\sqrt[4]{V}\Big) - \ln\Big(\sqrt[4]{W}\Big), \end{eqnarray} $$

de dónde

$$ \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial V} &=& \frac{\partial p}{\partial V} \frac{\partial}{\partial p} + \frac{\partial q}{\partial V} \frac{\partial}{\partial q}\\ &=& \frac{1}{4V} \frac{\partial}{\partial p} + \frac{1}{4V} \frac{\partial}{\partial q},\\ \frac{\partial}{\partial W} &=& \frac{\partial p}{\partial W} \frac{\partial}{\partial p} + \frac{\partial q}{\partial W} \frac{\partial}{\partial q}\\ &=& \frac{1}{4W} \frac{\partial}{\partial p} - \frac{1}{4W} \frac{\partial}{\partial q}, \end{eqnarray} $$

y por lo tanto

$$ 2 V \frac{\partial I}{\partial V} + 2 W \frac{\partial I}{\partial W} =\frac{\partial I}{\partial p}, $$

así obtenemos la ecuación

$$ \frac{\partial I}{\partial p} = I, $$

y la solución está dada por

$$ I = a(q) \exp\Big( p + b p \Big), $$

donde $a(q)$ es una función de $q$, es decir, constante con respecto a $p$.

De llenado en las coordenadas $p$$q$, obtenemos

$$ \begin{eqnarray} I &=& a\left[ \ln\Big(\sqrt[4]{V}\Big) - \ln\Big(\sqrt[4]{W}\Big) \right] \times\\ && \hspace{1em} \exp\left[ \ln\Big(\sqrt[4]{V}\Big) + \ln\Big(\sqrt[4]{W}\Big) + 4 \xi \ln\Big(\sqrt[4]{V}\Big) - 4 \xi \ln\Big(\sqrt[4]{W}\Big) \right]\\ &=& a\left[ \ln\Big(\sqrt[4]{V/W}\Big) \right] \sqrt[4]{V^{1+\xi} W^{1-\xi}}.\tag{4} \end{eqnarray} $$

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Sin embargo, debido a (3) hay muchas soluciones para construir a partir de (4). Vamos a escribir

$$ I_k(V,W) = \sqrt[4]{V^{1+\xi_k} W^{1-\xi_k}}, $$

entonces la solución general está dada por

$$ J_k(V,W) = \left( \sum a_{k_p}(V/W) I_{k_p}(U,V)^\zeta + \sum b_{k_p}(V/W)^\zeta J_{k_q}(U,V)^\zeta \right)^{1/\zeta}, $$

donde hemos usado (2). Esta solución es una recursividad.

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La condición de contorno

$$ \begin{eqnarray} I(V,0) &=& c_1 \sqrt{V},\\ I(0,W) &=& c_2 \sqrt{W}, \end{eqnarray} $$

es una restricción a los factores de $a_k$$b_k$.

Así nos encontramos con soluciones como

$$ \begin{eqnarray} I(V,W) &=& c_1 \sqrt{V} + c_2 \sqrt{W},\\ I(V,W) &=& \lambda c_1 \sqrt{V} + \lambda c_2 \sqrt{W}\\ && + (1-\lambda) \sqrt{ c_1^2 V + c_2^2 W }, \end{eqnarray} $$

pero también

$$ \begin{eqnarray} I(V,W) &=& c_1 \sqrt{V} + c_2 \sqrt{W} + c_3 \sqrt[4]{VW},\\ I(V,W) &=& \lambda c_1 \sqrt{V} + \lambda c_2 \sqrt{W} + c_3 c\sqrt[8]{V^3W^5}\\ && + (1-\lambda) \sqrt{ c_1^2 V + c_2^2 W + c_3 \sqrt[4]{VW^3} } + c_4 \sqrt[8]{ V W ^3 + V^3 W }. \end{eqnarray} $$

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La solución general está dada por

$$ J_k(V,W) = \left( \sum a_{k_p}(V/W) I_{k_p}(U,V)^\zeta + \sum b_{k_p}(V/W)^\zeta J_{k_q}(U,V)^\zeta \right)^{1/\zeta}, $$

donde

$$ I_k(V,W) = \sqrt[4]{V^{1+\xi_k} W^{1-\xi_k}}, $$

y los factores que se derivan de la condición de frontera.