Es esta analogía visual de Gödel del teorema de la incompletitud precisa?

Question

Hoy en día yo estaba tratando de explicar el teorema de Gödel para un profano en la materia, he dibujado una figura similar a la siguiente y dijo que:

• La verdad es una consecuencia de los axiomas (con los axiomas también ser verdad).
• Las líneas entre los axiomas y los teoremas y las líneas entre teoremas y teoremas son las nociones empleadas para demostrar la verdad de este teorema.
• Y que hay teoremas que son verdaderas (la red diamonds) pero inalcanzable por cualquier disposición de líneas a partir de los axiomas a los teoremas. Las líneas rojas son la intención de mostrar que no hay una línea que llega hasta allí.

Es esta analogía visual precisa? Yo sé que tal vez estoy simplificando, pero no capta la imagen en tamaño grande o hay alguna otra cosa que debo agregar?

Answer 1

Bueno, primero que todo yo no llamaría a ellos "teorema" $\infty, ?$, ya que, por definición, algo que sólo un teorema si es demostrable. :) Pero esta es una muy menor crítica.

Me gusta esta foto mucho, en parte debido a la sugerente sensación de "si pudiéramos hacer nuestras pruebas infinitamente larga, entonces, podríamos probar estas cosas!" Esto puede ser hecho precisa en una variedad de formas, y es cierto que en diferentes grados, dependiendo de cómo se hace preciso, pero siempre es cierto: si permitimos que los "infinitamente larga pruebas" (lo que puede ser) a continuación, algunos al menos cada cierto $\Pi^0_1$ declaración - como "PA es consistente" - va a ser comprobable.

Hay dos pequeñas críticas que he escuchado, a pesar de que, obviamente, no quiere decir que no sea fresco (como he dicho anteriormente, me gusta mucho):

• Uno, se ocupa de lo que significa para algo que no es demostrable; no explica cómo uno podría, posiblemente, muestran que algo no demostrable, o ¿qué tal afirmación podría parecer. (Por supuesto, que bien puede ser un trabajo para otra foto . . .)

• Más sutilmente, la pregunta "¿Qué tipo de verdadero oraciones pueden ser demostrado si permitimos infinitamente larga pruebas?" es increíblemente sutil y profunda, y una imagen como la que sugiere que la respuesta es "todos", que (en la mayoría de las interpretaciones) no lo es.

Sin embargo, estos son muy mucho de no grandes problemas. El segundo, en particular, es definitivamente algo que no me preocupaba hasta bien después de que se ha entendido el teorema de Gödel.

Answer 2

Todos los teoremas son demostrables: que es lo que la palabra "teorema". El punto es que no todas las verdades son demostrables, es decir, no todas las verdades son teoremas. IMO el diagrama sería más útil si se sustituye la palabra "teorema" en todas partes por la "verdad" (o algo sinónimos). Tal vez el cuadro en la parte superior puede ser etiquetado como "teoremas".

Answer 3

No me gusta este:

La verdad es una consecuencia de los axiomas (con los axiomas también ser verdad).

Estás tratando de transmitir que hay verdades que no son consecuencias de los axiomas. Por lo que esta definición de la verdad es contraproducente. Podríamos intentar llegar a la otra, pero dudo que usted puede definir si (decir) la Continuidad Hipótesis es verdadera o falsa, sin molestar a alguien. Peor aún, el CH es precisamente el tipo de declaración que nos interesa!

No estoy seguro de que es una gran idea para hablar de "verdad" aquí. En su lugar, se centran en el hecho de que hay algunas frases que no podemos demostrar, y cuya negación no podemos demostrar. Combinado con la ley del medio excluido, que ayuda a sugerir la intuición de que algunas de estas declaraciones son "verdaderas" en cierto sentido, evitando directa de la definición de la verdad.

Answer 4

(La mejor fuente para este tema es el libro "Gödel, Escher, Bach" por Douglas Hofstadter)

En primer lugar, estoy de acuerdo con la distinción que el otro las respuestas acerca de las verdades y los teoremas.

Segundo, no estoy seguro de que me gusta el rojo de las líneas de puntos. A mis ojos, ellos sugieren que no son pruebas que conducen a esas declaraciones. Si quieres hablar infinitamente largo de las pruebas, la deje en, de lo contrario llevarlos a cabo. Gödel del trabajo asume que las pruebas son finito, lo infinito de las pruebas sería un desvío.

Tercero, creo que es posible que desee agregar una segunda mitad de la figura, con falsedades y anti-teoremas. Anti-teoremas de ser la negación de los teoremas, las declaraciones que son demostrablemente falsas. Esto podría llevar a una figura que es demasiado desordenado, aunque. A su llamada.

Answer 5

Si la verdad es una consecuencia de los axiomas, no tiene sentido decir que la red diamond declaraciones son "true". Por el contrario, son afirmaciones que no podemos, a través de estos axiomas, determinar la verdad - nos puede ni probar ni demostrar su opuesto.

En el caso de Gödel de la prueba, de forma intuitiva, la declaración se encuentran debe ser verdad, por nuestra implícito modelo mental de los números naturales. Pero no es verdad en todos los modelos de nuestros axiomas.

Y hay casi seguro que las declaraciones que se indecidible que no tiene "evidentes" valor de verdad. Por lo que la red diamonds son sólo algunos de los inalcanzables declaraciones.

(Un ejemplo simple de un teorema que, si indecidible, es intuitivamente cierto, es Goldbach de la Conjetura. Si resulta que Goldbach no es decidable en nuestro estándar de axiomas, nos gustaría que nos intuitivamente vemos como una verdad - porque si es falso, entonces, en nuestro modelo mental, se "debe" ser capaz de encontrar un número finito de contra-ejemplo, y por lo tanto debería ser decidable.)

Me gusta pensar de Gödel,de forma intuitiva, en términos de los tipos de infinitas pruebas que podemos escribir.

La inducción matemática se puede ver, de forma intuitiva, como una manera de escribir infinitas pruebas. Es sólo un subconjunto de todos los posibles infinitas pruebas, howeverm que están permitidas - las pruebas a las que se puede llegar a través de la inducción son todos de cierta forma. Es decir, una inducción a prueba de muestra de cómo probar:

$$P(0)\\P(0)\implies P(1)\\P(1)\implies P(2)\\\dots$$

Pero lo que si un teorema de la forma$\forall n\,P(n)$, en realidad tiene una independiente de la prueba para cada una de las $n$, sin que el patrón de las pruebas para cada una de las $n$? La inducción va a fallar en ese caso - inducción no se permite para las pruebas de que son radicalmente diferentes para cada una de las $n$.

Así que, no estoy seguro de que tu foto es realmente ayudarle a entender lo que realmente está pasando. Es algo de una cruda aproximación - que el conjunto de todas las declaraciones accesible a partir de los axiomas es, en cierto modo, como un gráfico. Pero realmente no ayuda a entender la realidad profunda de la realidad.