Que $(X,d)$ ser un espacio métrico conectado sin límites. Que $x \in X$ y $r>0$ ser arbitraria, entonces existe $y \in X$ tal que $d(x,y) = r$.

Question

Deje $(X,d)$ ser una desenfrenada conectado espacio métrico. Deje $x \in X$ $r>0$ arbitrarias, entonces existe $y \in X$ tal que $d(x,y) = r$.

Suponemos que por el contrario, que no existen tales puntos de $y \in X$ tal que $d(x,y) = r$. Luego tomamos el cerrado de la bola de $B[x,r]$ y por nuestra suposición de que el límite de la pelota no existe en $X$, porque si un punto en el límite existe, entonces podemos elegir el punto de nuestra $y$ y hemos terminado.

Ahora desde $(X,d)$ ser una desenfrenada conectado espacio métrico podemos encontrar puntos de $y$ $X$ tal que $d(x,y) > r$ $d(x,y) < r$ y las consideramos como dos disjuntos no vacíos subconjuntos tales que $X =A \cup B$ y contradiciendo así a $(X,d)$ está conectado.

Es la lógica de la prueba de la correcta? Es intuitivo prueba he pensado, pero ¿cómo podemos escribir una buena prueba?

Answer 1

La primera parte de la prueba parece ser superfluo. Aquí es cómo yo probaría esto: $X$ es ilimitada, el conjunto de $$U=\{y\in X:d(x,y)>r\}$$ is nonempty. Since $d(x,x) =0$, the set $$V=\{y\in X:d(x,y)<r\}$$ is nonempty. It is straightforward to show that $U$ and $V$ are open. Since $X$ is connected, we cannot write $X=U\cup V$, as that would be a separation of $X$. So there must be a point $y\in (U\cup V)^c$, that is, a point $y\in X $ with $d(x,y) = r$.

Answer 2

Para otra prueba, se arreglo $x \in X$. Tenga en cuenta que el mapa $f: X \to \mathbb{R}$ de $y \mapsto d(x,y)$ es continuo. Esto es cierto porque si $d(y,y')<\epsilon$, entonces el $|f(y)-f(y')|=\big|d(x,y)-d(x,y')\big| \leq d(y,y') < \epsilon$.

Por otra parte, el mapa $f$ es ilimitado, puesto que $X$ es ilimitada. De hecho, si $M>0$, entonces podemos encontrar $a,b \in X$ tal que $2M<d(a,b) \leq f(a)+f(b)$ y $f(a)>M$ o $ f(b)>M$.

Ya está conectado $X$ $f$ es una función continua ilimitada en $X$ puede concluir por la propiedad del valor intermedio que existe para cualquier $r>0$, $y \in X$ tal que $f(y)=d(x,y)=r$.