aplicaciones de la visualización de algunos colectores como espacios homogéneos

Question

Estoy leyendo algo sobre el isométrica acciones y el libro que estoy siguiendo demostró que uno tiene diffeomorphisms

$\mathbb{S}^{n} \cong \mathrm{SO}(n+1)/ \mathrm{SO}(n)$,

$\mathbb{R}P^{n}\cong \mathrm{SO}(n+1)/S(O(n)\times O(1))$.

A continuación, se demuestra de forma análoga declaraciones para la grassmanian colectores, pero luego se cambia la totalidad de los sujetos y la deja sólo como ejemplos. Me preguntaba si hay alguna de las aplicaciones inmediatas o conclusiones que uno puede sacar de tener estas descripciones de las esferas, los espacios proyectivos y la grassmanians. Por ejemplo, el libro se menciona que esto nos permite ver como espacios homogéneos. ¿Qué más puede (fácilmente) se dijo?

Answer 1

Usted obtener varias cosas.

1. Un método para calcular su topología (casi). Dada la inclusión de (digamos) compacto Mentira grupos $H\subseteq G$, hay una secuencia espectral que calcula la cohomology de los grupos (y a menudo la estructura de anillo) así como característico de las clases (por la tangente paquete de G/H). A menudo en la práctica (aunque no siempre, por lo tanto los de arriba "casi") las diferencias en realidad son computables.

Para las esferas, la cohomology anillo y característico de las clases son fáciles de calcular. Para espacios proyectivos, esta información es más difícil de calcular.

1. (De nuevo, estoy suponiendo que estamos trabajando con el compacto Mentira grupos) Una métrica de no negativo de la sección transversal de la curvatura. Hasta recientemente (en los últimos 5 años o así), sólo conocidos y fáciles de aplicar el método para la construcción de métricas de no negativo de la sección transversal cuvature estaba empezando con $G$ con biinvariant métrica y quotienting a cabo por algunos de los subgrupos.

2. La escritura como un espacio homogéneo ayuda a encontrar los más isométrica acciones. Como un ejemplo, considere el $S^7$. Esto puede ser expresado como un espacio homogéneo, en 4 formas diferentes: $S^7 = SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G_2$.

El $SU(3)$ $SU(4)$ no es maximal - uno ha $SU(3)\subseteq U(3)\subseteq SU(4)$. Resulta que el extra círculo factor en la $U(3)$ desciende a un bien definido isométrica de acción en $S^7$ - hemos descubierto el Hopf fibration $S^1\rightarrow S^7\rightarrow \mathbb{C}P^3$.

Asimismo, el $Sp(1)$ $Sp(2)$ no es maximal - uno ha $Sp(1)\subseteq Sp(1)\times Sp(1)\subseteq Sp(2)$. Resulta que el extra $Sp(1) = S^3$ factor le da a un bien definido isométrica de acción en $S^7$. Hemos descubierto el Hopf fibration $S^3\rightarrow S^7\rightarrow S^4$.

(El gracioso $Spin(7)/G_2$ no dan lugar a nuevas "exótico" acciones en $S^7$, pero sí ayuda a entender el giro de la representación de $Spin(7)$ y también lo $G_2$ que realmente es).