Determinar todos los factores primeros (distintos) de $1000!$. Aquí buscamos una descripción de estos factores como un conjunto; no hay necesidad para calcularles.
¿Exactamente que necesito determinar aquí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
m0j0
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Algunos consejos:
- Un número primo tiene exactamente dos factores: $1$ y sí mismo.
- $1000! = 1000 \cdot 999 \cdot 998 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1.$
- Obviamente hay muchos factores de este número. $995 \cdot 875 \cdot 459 \cdot 3$ es uno de ellos. Pero esto obviamente no es un factor primordial. Teniendo en cuenta esta observación, ¿cuál es el máximo valor de un factor principal de $1000!$ pueden tener? Debe responder a su pregunta.
orangeskid
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13528
Un número primo $p$ tiene esta propiedad importante: si $p$ es un factor de un producto de números, entonces es un factor de al menos uno de los números ( el recíproco también es cierto, pero sencillo). Pero no primos no satisfacen este. Por ejemplo, $6$ divide $8\cdot 9$ pero no divide a cualquiera de $8$ o $9$.
Su producto es $1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot 1000$. A partir de lo anterior, los factores primos de este producto serán los primos que dividen al menos uno de los números $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$, $1000$. Ahora, si un prime $p$ se divide en un número de $N$ entre $1$ $N$ ( no puede exceder $N$). Por lo tanto, cualquier primer dividir un número entre el $1$ $1000$ entre $1$$1000$. Por el contrario, si una principal es entre el$1$$1000$, que el primer dividirá en sí, por lo que será un factor de un número entre el$1$$1000$.
Conclusión: los factores primos de a $1000!$ son los números primos entre $1$$1000$.
Obs: aunque no es necesario, un poco de ayuda de la computadora nos da el conjunto de estos números primos ( $168$ ) $$\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,\\ 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,\\ 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, \\307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397,\\ 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,\\ 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599,\\ 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691,\\ 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797,\\ 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887,\\ 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997\}$$
hazmat
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¡1000! es el número. Y refiriéndose a él por 1000! ya sabes una representación como un producto. Obviamente cada prime en esta representación es un factor primordial. ¿Pero son los primos más pequeños que son factores de los primeros 1000 allí? Sugerencia: Piense en el Teorema fundamental del álgebra.
Archis Welankar
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Desde un factorial de N ($N!$) es el resultado de la multiplicación de $[1,N]$, es decir, $$N! = \prod_{n = 1}^{N} n$$ Todo lo que necesitas hacer es tan simple como encontrar los números primos en el rango de $[1,N]$ lo cual es posible mediante el uso de algoritmos tan simple como la Criba de Eratóstenes o ir tan lejos como Adleman–Pomerance–Rumely prueba de primalidad. Usted puede encontrar más información sobre el primer pruebas aquí. Aquí es un conjunto formal de la descripción de los números: $$\large\{n\in{\rm I\!N}|n<1000,\forall m\in{\rm I\!N},m<1000:\frac{n}{m}\notin{\rm I\!N}\lor\frac{n}{m}\in\{1,n\}\}$$
