Mientras estaba estudiando Euler Totient función, $\varphi(n)$, me encontré con el maravilloso libro "Índice de Problemas Matemáticos, 1980-1984" Por Stanley Rabinowitz. En esta página del libro (enlace a Google books ejemplo), los problemas abiertos y conjeturas acerca de la Totient de la función aparecen. Todos son realmente impresionantes, pero uno de ellos era especialmente interesante para mí:
CMB34 por M. V. Subbarao:
si $(\varphi(n)+1)\ \mid\ n$, $n$ o $n/2 \in \Bbb P$.
También tiene dos partes, el 'trivial' es que si $n$ es de hecho un número primo, $\varphi(n)=n-1$, lo $\varphi(n)+1 = n-1+1 = n$, y, a continuación,$n \mid n$. Pero la otra parte no es trivial: cuando $(\varphi(n)+1)$ divide $n$ (), a continuación, $n/2$ es un número primo. Simplemente increíble y todavía abierto (si no estoy equivocado).
Yo quería aprender más, así que hice mi propia try-outs de otras combinaciones, como CMB34, y encontré uno que es muy interesante, de hecho yo no se encontró ninguna abrir una conjetura o problema abierto sobre ella, así que aquí está mi propia propuesta de declaración:
(1) $\forall n\ge3$, si $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\ \mid\ n\ $ $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\in \Bbb P$
Y la verdad es que parece que funciona! He hecho una Pitón de la prueba en el intervalo de $[1,50000]$ y el enunciado es siempre verdadera, no hay contraejemplos. He aquí algunos ejemplos:
$n = 52,\ \varphi(n)=24,\ \frac{\varphi(n)}{2}+1=13,\ 13\mid52$, e $13 \in \Bbb P$
$n = 57,\ \varphi(n)=36,\ \frac{\varphi(n)}{2}+1=19,\ 19\mid57$, e $19 \in \Bbb P$
$n = 66,\ \varphi(n)=20,\ \frac{\varphi(n)}{2}+1=11,\ 11\mid66$, e $11 \in \Bbb P$
$n = 68,\ \varphi(n)=32,\ \frac{\varphi(n)}{2}+1=17,\ 17\mid68$, e $17 \in \Bbb P$
$etc.$
Tener estos resultados en mente, he intentado generalizar a $\frac{\varphi(n)}{2^i}+1, i\in\Bbb N$. Y, por ejemplo, para el caso de $i=2, (2^2)$, además de algunos específicos inicial pequeño $n$ contraejemplos $n = \{3,4,6,28,36,66\}$ $n\gt66$ parece ser siempre cierto. Yo todavía no probar otros valores de $i$.
He subido la prueba escrita en Python aquí.
He seguido tratando de generalizar, y la siguiente declaración también parece ser cierto siempre:
(2) $\forall n\ge3, n=2k,\ k\in \Bbb N$, si $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\ \mid\ \frac{n}{2}\ $ $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\in \Bbb P$
Hay dos diferencias con mi declaración principal $(1)$: en este caso, $n$ sólo puede ser incluso el número de $\ge3$, por lo que puede ser dividido por $2$, y la relación es verdadera cuando un factor de $n/2$ (en lugar de un factor de n). Voy a actualizar a la pregunta si puedo encontrar más exitosas combinaciones.
Lo mismo puede aplicarse a las $n$ múltiplos de $4$, y en este caso, la expresión es (trivialmente) verdadero al $n = 4p\ \forall p \in \Bbb P, p\ge3$, por lo que la lista de los impares, números primos aparece en el original de la orden natural de los números primos:
(3) $\forall n\ge3, n=4k,\ k\in \Bbb N$, si $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\ \mid\ \frac{n}{4}\ $ $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\in \Bbb P$
Esto es en otras palabras:
(3) $\forall n\ge3, n=4k,\ k\in \Bbb N$, si $\frac{n}{4} = (\frac{\varphi(n)}{2}+1)$ $(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\in \Bbb P$
En este caso, la relación es trivial para los $n=4p$ múltiplos de cualquier $p$ prime, porque
$\frac{\varphi(4p)}{2}+1 = \frac{\varphi(4)*\varphi(p)}{2}+1 = \frac{2*\varphi(p)}{2}+1 = \varphi(p)+1 = p-1+1 = p$
Pero el punto interesante es que si $n$ es un múltiplo de a$4\ /\ n\not=4p, p \in \Bbb P$, entonces la relación es falsa siempre, así que no hay números primos. De todos modos, las expresiones (1) y (2) parece más interesante que el de (3).
No se encontró ninguna $n$ capaz de hacer que la relación verdadera de $\frac{n}{8}$ o $\frac{n}{16}$.
Los números primos $p = (\frac{\varphi(n)}{2}+1)$ generado por la expresión (1):
Excepto para el caso de $n=6$ en el resto de casos, el primer número de $p$ parece ser siempre el mayor factor primo de $n$.
Trivial, pero muy interesante, si $p$ es factor de n, $(n/p)$ es un límite superior de los otros factores primos de a $q$, lo $\forall q, q\in \Bbb P\ /\ q \not= p, \ q\mid n, \ q\le(n/p)$.
Y n es un subconjunto de los números con el siguiente patrón:
$n=(\frac{\varphi(n)}{2}+1)*k_1 /\ k_1 \in \{2,3,4,6\}$
Podría ser posible que yo no pueda ver la madera de los árboles, y mi declaración es trivial, o ya conocidos, o tonterías, así que agradecería cualquier ayuda para entender los resultados.
Me gustaría compartir con usted las siguientes preguntas:
- Es mi propuesta de declaración sobre la Totient función ya conocida o trivial?
- Hay un contraejemplo de esto?
- Podría ser generalizada?
Gracias!
** ACTUALIZACIÓN de 2015/04/22 ** Mi definición sobre los números de $n$ cubriendo las propiedades explicado en la declaración (1) ha sido aceptado en la OEIS! (enlace aquí).
** ACTUALIZACIÓN de 2015/05/01 ** Relacionadas con la pregunta acerca de otras posibles interesante propiedad (enlace aquí):
(2)$\ \forall n\in [3,29]\cup[31,1000000]$,
si $[(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\ \mid\ n]\ \land\ [(\frac{\tau(n)}{2}+1)\ \mid\ n]\ $ $[(\frac{\varphi(n)}{2}+1)\cdot(\frac{\tau(n)}{2}+1)] = n$
