El problema: Dejemos que $S=\{(x,y):0\le y\le 1, x=0\;\, \text{or}\;\, x=1/n \quad\text{for}\; n=1,2,\cdots\}\cup ([0,1]\times {0}$ ), demuestre que $S$ no es triangulable.
Nota: mi definición de triangulación es que un conjunto $X$ es triangulable si existe un complejo simplicial $K$ tal que $|K|$ es homeomorfo a $X$
Mi intento: Lo primero que vi fue que $S$ es claramente cerrado, y por tanto compacto en $\mathbb{R}^2$ . Por lo tanto, si un complejo simplicial $|K|$ era homeomorfo a él, entonces también debe ser compacto, lo que significa que $|K|$ es finito. Pero aquí hay un punto que me preocupa: Se supone que no sé que todos los complejos simpliciales compactos son finitos simplemente porque aún no lo he cubierto. ¿Hay algún otro argumento más elemental para demostrar que $|K|$ es finito, además de referirse al teorema?
Ahora se da una pista explícita en el problema:
demostrar que para cualquier complejo simplicial finito para cualquier $x\in |K|$ y conjunto abierto $U$ que contiene $x$ existe un conjunto abierto conectado $V$ tal que $x\in V\subseteq U$
Aparte del hecho de que no puedo ver cómo esto podría ayudarme a resolver el problema, también estoy un poco desconcertado porque parece demasiado obvio para que lo pruebe: ya que $|K|$ se puede incrustar en una dimensión finita $\mathbb{R}^n$ espacio, con métrica estándar en él siempre podemos tomar $V$ para ser un balón abierto alrededor $x$ y hemos terminado. ¿Es eso cierto?
También veo que $S$ está claramente conectado a la ruta, por lo que mi $|K|$ deben estar conectadas por los bordes y conectadas. Pero parece que estoy atascado en esta etapa.
Sería genial si alguien pudiera explicar cómo se hace esto con una pista dada Si es posible.
Gracias de antemano,
