Forma cerrada de una integral de log(cos)

Question

¿Existe una forma cerrada de $$ \displaystyle \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ x \sqrt { \tan { x } } \log { ( \cos { x } ) }\ dx }$$

Si existe puede alguien encontrar una manera de abordar esta integral y proporcionar una forma cerrada de la misma. Muchas integrales similares tienen forma cerrada y creo que ésta también.

Answer 1

$ \displaystyle \int _{ 0 }^{ \pi /2 }{ x \sqrt { \tan { (x) } } \log { ( \cos { (x) } ) } dx }=- \frac { \pi\sqrt {2}}{8}( \frac { \pi ^2}{3}+4G+3 \ln ^22+{ \pi }{ \ln {2}}) $