Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios de Banach. Si $T \in B(X,Y)$ y $Y = \operatorname{im}T \oplus M$ para algún subespacio lineal cerrado $M$ de $Y$ entonces $\operatorname{im}(T)$ está cerrado en $Y$ .
No estoy seguro de que esta afirmación sea cierta o no. Sin embargo, tengo dificultades para demostrarlo, ¿alguna sugerencia o contraejemplo?
Es cierto.
Podemos sustituir $X$ con $X/\ker T$ y $T$ con el mapa inducido $\tilde{T} \colon X/\ker T \to Y$ si es necesario, ya que $\operatorname{im} \tilde{T} = \operatorname{im} T$ y $X/\ker T$ es también un espacio de Banach. Por lo tanto, podemos suponer que $T$ es inyectiva.
Como subespacio cerrado del espacio de Banach $Y$ , $M$ es a su vez un espacio de Banach, y por tanto $X \times M$ es también un espacio de Banach si lo dotamos de una de las normas habituales sobre un producto de dos espacios normados, por ejemplo $\lVert (x,m)\rVert = \lVert x\rVert_X + \lVert m\rVert_Y$ .
A continuación, definimos una biyección continua $S \colon X \times M \to Y$ a través de
$$S(x,m) = Tx + m.$$
Por el teorema del mapa abierto, $S$ es abierto, y por tanto un homeomorfismo. Dado que $X \times \{0\}$ es un subespacio cerrado de $X\times M$ se deduce que
$$\operatorname{im} T = S(X\times \{0\})$$
es un subespacio cerrado de $Y$ .
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Cuando se escribe \text{im}T entonces se ve $\text{im}T$ sin un espaciado adecuado. En $a\operatorname{im} T$ o $a\operatorname{im}(T)$ codificado como a\Nnombredeloperador{im}T y a\Nnombredeloperador{im}(T) se ve el espacio antes y después de $\operatorname{im},$ y se ve que la cantidad de espacio depende del contexto, por lo que no es necesario ajustarla manualmente. En la actualidad $\LaTeX$ (a diferencia de MathJax, que es el software utilizado aquí, puede poner el siguiente comando antes del comando \begin{documento}: \Nnuevocomando{im}{nombre del operador{im}} Luego, en el documento, sólo tiene que escribir \im T.
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Tengo la sensación de que esto saldrá adelante por el teorema del gráfico cerrado
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Paso 0: Explique por qué podemos suponer que $T$ es inyectiva. Paso 1: Encontrar una biyección continua útil $X\times M \to Y$ . Paso 2: Utilizar el teorema del mapa abierto.
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Daniel Fischer, todavía no estoy seguro de cómo encontrar una biyección continua tan útil. Sin embargo, a la luz del teorema del mapa abierto, creo que veo que es cierto.