proceso estocástico: determinar si el proceso es cadlag

Question

Yo había pedido un problema similar antes y Didier Piau fue muy amable de ayudarme con la respuesta. Tengo otra pregunta sobre el mismo problema de configuración.

Deje $T$ ser un azar exponencialmente distribuidos de tiempo. $P(T>t)=e^{−t}$. Definir $M$ través $M_t=1$ si $t−T∈Q^+$, $M_t=0$ de lo contrario. Donde $Q^+$ ser positivo racionales. deje $F_t$ ser una filtración generados por el proceso de $M$.

Puedo ver que el proceso descrito anteriormente es un martingle, pero estoy tratando de probar que no es cadlag. estoy tratando de aplicar la definición de $\lim_{h\rightarrow 0} M_{t+h} =M_t$$\lim_{h\rightarrow 0} M_{t-h} =exists$.

En $M_{t+h}$ me va a generar una variable aleatoria $T$ y dependiendo de si $T>t+h$, $M_{t+h}$ va a tener 0 o 1. En el límite $h\rightarrow 0$ , $M_{t+h}$ no necesariamente ir a $M_t$$t+h$, no importa cuán pequeño $h$ es una nueva variable aleatoria $T$ se decide el valor de $M_{t+h}$, lo que puede hacer $M_{t+h}$ diferente de la $M_t$.

Es mi proceso de pensamiento correcto para llegar a la conclusión de que $M_t$ no es cadlag? Sería muy amable de la ayuda de alguien como yo estoy tratando de aprender el proceso estocástico en mi propia lectura de un libro.

Answer 1

Si entiendo correcto, se $M_t = 0$ $t<T$ $M_t = D(t-T)$ $t\geq T$ donde $D(x)$ es una Función de Dirichlet, que es continua en ningún lugar. Esto significa que para $t\geq T$ el proceso de $M_t$ tiene una trayectoria que es continua en ninguna parte y no tiene el derecho/izquierdo límites.

Editado: Ya que usted tiene algunas preguntas sobre la construcción de este proceso, trato de discutir aquí. Como usted ha descrito, la construcción es la siguiente:

1. recoger una variable aleatoria $T\sim\mathcal E(1)$;

2. definir $$ M_t = \begin{cases} 1, \text{ if }t-T\in\mathbb Q^+; \\ 0, \text{ otherwise}. \end{casos} $$

Esto significa que cuando usted sabe $T$ puedes construir el proceso de $M_t$. Viceversa, si usted sabe $M_t$, claramente $T = \min\{\tau\geq 0:M_t = 1\}$: podemos tomar mínimo desde $M_T = 1$.

Si $t-T\in \mathbb Q^+$$M_t = 1$, pero hay una secuencia $t_k\geq T$ tal que $M_{t_k} = 0$ pero $t_k\to t$$k\to\infty$. También puede cambiar la notación un poco y escribir $$ M_t = \begin{cases} D(t), \text{ if }t\geq T; \\ 0, \text{ if }t<T. \end{casos} $$ donde $D(t)$ es una función de Dirichlet. Esto implica inmediatamente que $M_t$ no es cadlag.

Tenga en cuenta que aquí simular $T$ sólo una vez, si entiendo tu pregunta correcta. Es por eso que usted no necesita para simular dos diferentes variables aleatorias $T_1,T_2$ a veces $t,t+h$. Hay una correspondencia uno a uno entre el$T\in\mathbb R_{\geq0}$$M_t(T)$.

Permítanme mostrarles un ejemplo que es más fácil de visualizar. Tomemos $$ M'_t = \begin{cases}1+\log{t}, \text{ if }t\geq T; \\ 0, \text{ if }t<T. \end{casos} $$

Aquí está la trama, para $T\approx 4.32$. En tu caso, la situación es casi el mismo solo tiene $D(t)$ en lugar de $1+\log{t}$, pero la primera función es difícil de visualizar.