Prueba de límite de propiedad

Question

Estoy tratando de mostrar que si $f(x) \geq 0$ por cada $x \in (-\infty, a)$ $ \lim_{x \rightarrow a^-} f(x)$ existe $\lim_{x \rightarrow a^-} f(x) \geq 0$. Aunque es intuitivamente obvio, la prueba de que he venido para arriba con es tan fácil que me preocupa que me estoy perdiendo algo:

Supongamos que $ \lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = L < 0$. Esto significa que por cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon$$x < a$. Desde $L < 0$ y $f(x) \geq 0$, $f(x) - L > 0$ por lo $0 < f(x) - L < \epsilon$. Ahora, elija $\epsilon = -L$. Entonces

$$ 0 < f(x) -L < -L \implica que 0 < f(x) < 0 $$

que es una contradicción, por lo tanto, $L\geq 0$

Se ve a la derecha?

Answer 1

Para tener una respuesta:

1. Su argumento está muy bien excepto por el leve error señalado por Dylan Moreland: al final solo puede concluir $0 \leq f(x) \lt 0$, que por supuesto es una contradicción, también. En cuanto a la "simplificación" resultante de $x \lt a$ lo que le permite escribir $0 \lt a - x \lt \delta$, esto parece más bien inmaterial a mí.
2. El punto límite $L$ debe estar en el cierre de $[0,\infty)$, por lo tanto, $L \geq 0$, por lo que ninguna prueba por contradicción es necesario aquí.