$x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ es irreducible en $\mathbb{F}_2$ si y sólo si genera el $2$ $\mathbb{F}_p^{*}$

Question

Necesito mostrar la equivalencia:

$x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ si y sólo si $2$ genera $\mathbb{F}_p^{*}$.

Tal vez debería aclarar el significado de "genera": $\mathbb{F}_p^{*}$ es un grupo cíclico (como el mulplicitive grupo de un campo finito) compuesta de los elementos $1, 2, ...., p-1$, e $2$ genera $\mathbb{F}_p^{*}$ significa que todos los elementos son sus poderes.

He intentado lo que parece ser, de forma intuitiva la dirección fácil. Aquí está mi intento:
Supongamos $1+x+...+x^{p-1}$ es irreductible. Deje $\alpha\in \overline{\mathbb{F}}_2$ ser una raíz del polinomio. A continuación,$[\mathbb{F}_2[\alpha]: \mathbb{F}_2]=p-1$$\mathbb{F}_2[\alpha]\cong \mathbb{F}_{2^{p-1}}$.
Ahora estoy atascado. Yo creo que puede tener algo que ver con el multiplcitive grupo de este campo, ya que la orden de $2^{p-1}-1$ que es divisible ser $p$, pero tal vez estoy equivocado.

Alguna idea?

Answer 1

• si $\alpha$ $p$th raíz de la unidad, a continuación, $\alpha^{n} = \alpha$ fib $n \equiv 1 \bmod p$.

• si el orden de $2$ modulo $p$$D$, $\alpha^{2^m} = \alpha$ fib $D | m$.

• deje $r$ ser el menor entero tal que $\alpha \in \mathbb{F}_{2^r}$. A continuación, $\sigma(a) = a^2$ es el Frobenius automorphism y genera $Gal(\mathbb{F}_{2^r}/\mathbb{F}_{2})$, lo que significa que el polinomio mínimo de a $\alpha$ $$\phi(x) = \prod_{k=1}^d (x-\sigma^k(a))=\prod_{k=1}^d (x-a^{2^k})$$ donde $d = [\mathbb{F}_{2}(\alpha):\mathbb{F}_{2}]$, que también es el menor entero tal que $\alpha = \alpha^{2^d}$ es decir, el orden de $2$ modulo $p$.

• si $d = p-1$, ya que el $\alpha$ es una raíz de $\varphi(x) = \sum_{m=0}^{p-1} x^m$,$\phi = \varphi$. Por el contrario, si $d \ne p-1$ $\phi | \varphi$ que no es irreducible.