En $\lim f(x) = \frac{1}{\lim\frac{1}{f(x)}}$ ?

Question

Estaba tratando de encontrar $\lim_{z\rightarrow{0}} \frac{z^2}{\cos(z)-1}$ y la guía de soluciones sólo me dijo que hiciera $\lim_{z\rightarrow{0}} \frac{\cos(z)-1}{z^2} = -\frac{1}{2}$ y luego tomar el recíproco de esto, que es $-2$ como mi respuesta.

¿Podemos hacerlo realmente? ¿Obedece esto realmente las leyes de los límites?

Answer 1

Esta es la justificación. Supongamos que $g$ es continua en $L$ y supongamos que $\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ . Entonces $$\lim\limits_{x\to a}g(f(x)) = g(\lim\limits_{x\to a}f(x)) = g(L)$$ La primera igualdad proviene de la continuidad de $g$ en $L$ y la segunda es la existencia del límite original.

Hay que tener un poco más de cuidado en los casos $x\to\pm\infty$ ya que el dominio de $g$ normalmente no incluye $\infty$ .

En su caso, $g(x)=1/x$ y su declaración puede ser reordenada para ser $$g(\lim f(x)) = \lim g(f(x))$$ invirtiendo ambos lados.

Answer 2

Aquí hay otra justificación de la misma, sólo por diversión.

En general, $$\lim_{x\to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to a} F(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} G(x)}$$ mientras existan ambos límites y $\displaystyle\lim_{x\to a} G(x) \ne 0$ .

Aplicando eso a tu situación, tenemos:

$$\lim_{x \to a} \frac1{f(x)} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to a} 1}{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)} = \frac1{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}$$

Por lo tanto:

$$\frac1{\displaystyle\lim_{x\to a}\frac1{f(x)}} = \frac1{\left(\frac{\displaystyle\lim_{x\to a} 1}{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}\right)} = \frac1{\left(\dfrac1{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}\right)} = \lim_{x\to a} f(x)$$