Cardinalidad de todos $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$ conjuntos de espacio de Baire sin opción completa

Question

Es bien conocido que el conjunto de todos los abiertos (o cerrados) establece en Baire el espacio tiene la cardinalidad del continuo. En el contexto de la elección, se puede demostrar que el conjunto de todas las $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-conjuntos de Baire espacio tiene la cardinalidad del continuo.

Sin embargo, si nosotros no asumimos la elección, cómo determinar el conjunto de todos los $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-conjuntos de Baire espacio? Traté de encontrar la prueba de que el conjunto de todos los $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-conjuntos tiene la cardinalidad del continuo. Pero como yo lo veo, casi una prueba que determina la cardinalidad del conjunto de todos los $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-establece utiliza la opción completa.

Sin elección, podemos demostrar que la cardinalidad del conjunto de todos los $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-conjuntos de cardinalidad del continuo? Si no existe, no es un modelo de ZF + Contables elección que la cardinalidad del conjunto de todos los $\mathbf{\Sigma}^0_\alpha$-conjuntos no es igual a la cardinalidad del continuo para algunos $\alpha>0$? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Ha habido algunas muy buen trabajo relativo a esta cuestión. Primero como usted probablemente sabe, en $AC$ la cuestión de la cardinalidad de un pointclass vuelve trivial para todos aquellos que no selfdual pointclasses y todos ellos tienen cardinalidad $2^{\aleph_0}$. Así que la pregunta es muy interesante, en $AD$. Hjorth ha demostrado que, asumiendo $AD+DC(\mathbb{R})$ si $\alpha < \beta$ entonces tenemos que $\lvert \boldsymbol\Sigma^0_{\alpha} \rvert < \lvert \boldsymbol\Sigma^0_{\beta} \rvert$ y en el proyectiva jerarquía tenemos que $\lvert \boldsymbol\Delta^1_n \rvert < \lvert \boldsymbol\Sigma^1_n \rvert < \lvert \boldsymbol\Delta^1_{n+1} \rvert$.

Usted estaría interesado en echar un vistazo en:

Alessandro Andretta, Greg Hjorth, y Itay Neeman, Eficaz cardenales de negrita pointclasses, J. Math. Registro. 7 (2007), no. 1, 35--82.