Universal que cubre el espacio de $S_{2}/\sim$, donde $\sim$ es cierta relación.

Question

Deje $p,q$ ser diferentes puntos de $S_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$. Consideramos el espacio de $X=S_{2}/\sim$ donde $\sim$ es de la siguiente relación: $x,y\in S_{2}$, $x \sim y$ si y sólo si $x=y$ o $x=p, y=q$ o $x = q, y = p$ ($p \neq q \in S_2$ son puntos fijos). Tengo que encontrar a el universal que cubre el espacio de $X$.

Es fácil comprobar que $\pi_{1}(X)=\mathbb{Z}$, por lo que la cardinalidad de las fibras de la universal que cubre el espacio es la cardinalidad de a $\mathbb{Z}$. También he notado que $X$ es homeomórficos al toro en la que el central circunference ha sido pegado en un punto. Deje $Y$ ser este espacio.

Considero que el universal cubrir el espacio de el toro $$ \pi:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}/\mathbb{Z}^{2}\cong T^{2}, x\mapsto [x], $$ y el mapa $$ f:T^{2}\rightarrow Y, x\mapsto [x]. $$

Creo que el universal cubriendo de $X$ tener algo que ver con estos mapas, pero no soy capaz de encontrarlo.

Answer 1

Su espacio es homotopy equivalente a la esfera $S^2$ con un segmento de línea (en azul en la imagen), que se une a$p$$q$:

Mediante la continua deformación del segmento de línea, usted puede fusionar los extremos, y usted termina con $S^2 \vee S^1$, la cuña de una esfera y un círculo en un punto (que he dibujado el círculo exterior de la esfera, no cambia nada):

Desde la esfera $S^2$ es simplemente conexa, la universalización de la cobertura de este espacio se ve como un "collar". Es una infinita (en ambas direcciones) número de esferas, y cada esfera está unido al siguiente por un segmento de línea:

Cada esfera se asigna homeomorphically en el $S^2$ componente de $S^2 \vee S^1$, y cada segmento se proyecta en el círculo de componentes mediante la identificación de las estaciones.