Subgrupo de $A_{n}$

Question

Supongamos que $G \leq S_{n}$ y $G$ tiene un número impar de elementos. Prueba $G \leq A_{n}$. Estoy tratando de hacer esto por la contradicción al asumir $G$ tiene una permutación impar pero no puedo mostrar cómo sería en $A_{n}$.

Answer 1

Supongamos que $G\nleq A_n, \exists g_0 \in G\setminus A_n$. Consideremos ahora el $$ A = \{g \in G: \text{sgn}(g) = 1\}, \text {y} B = \{g \in G: \text{sgn}(g) = - 1\} $$ entonces $A = g_0B$, que $|A| = |B|$. Además, $G = A\sqcup B$, que $|G|$ sería incluso. Esto es una contradicción.

Answer 2

Esto no tiene nada que ver con permutaciones impares. Por el contrario, puede considerar el cociente mapa $p : S_n\rightarrow S_n/A_n = C_2$. Ahora pregúntate, ¿cuál es la imagen de $G$ bajo este surjection? Si surjects de #% de %#% a $G$, entonces debe tener orden incluso, así $C_2$ $p(G) = 1$, lo que implica que el $C_2$ está contenido en el núcleo de $G$, por lo tanto, $p$.