Mostrar el pecado que #% el $ \int_I x^{-\frac{1}{4}} $% #%.

Question

Que $I=[0,\pi]$. Mostrar el pecado que #% el $\displaystyle \int_I x^{-\frac{1}{4}} $% #%.

Mi trabajo:

Creo que esta es una aplicación de la desigualdad de los titulares. Pero no es integrable a cualquier potencia positiva de $ x \;dx \leq \pi^{\frac{3}{4}}$ $ x^{-\frac{1}{4}}$. Así que me pegué. Alguien por favor me puede dar una pista para el comienzo.

Answer 1

Puede utilizar la desigualdad de Hölder así: $$\int_I x^{-1/4}\sin x\,{\rm d}x \leq \left(\int_I (x^{-1/4})^{4/3}\,{\rm d}x\right)^{3/4}\left(\int_I\sin^4 x\, {\rm d}x\right)^{1/4} \leq \left(\int_I x^{-1/3}\,{\rm d}x\right)^{3/4}.$ $