Mostrando que % de matriz $Q=UV^T$es el más cercano de matriz ortogonal a $A$.

Question

Que $A$ sea una matriz de #% de #% % con un % de descomposición singular del valor $m \times n$. Mostrar que el % de matriz $A=U\Sigma V^T$es el más cercano de matriz ortogonal a $Q=UV^T$, es decir,

$A$$

Answer 1

Tenga en cuenta que, como se ha dicho, la pregunta sólo tiene sentido si $n=m$, debido a que en la descomposición de valor singular de $A$, $U$ se $m\times m$$V^T$$n\times n$.

Debido a que la norma de Frobenius es unitarily invariante, usted tiene $$ \|Q\|_F=\|U\Sigma V^T-Q\|_F=\|\Sigma-U^TQV\|_F. $$ Pero el ortogonal (o unitario) de matrices de formar un grupo, por lo que usted desea reducir al mínimo $$ \|\Sigma-Q\|_F $$ sobre todas las matrices ortogonales. Usted tiene \begin{align} \|\Sigma-Q\|_F^2&=\sum_k(\Sigma_{kk}-Q_{kk})^2+\sum_{j\ne k}Q_{kj}^2\\ \ \\ &=\sum_k(\Sigma_{kk}^2+Q_{kk}^2-2\Sigma_{kk}Q_{kk})+\sum_{j\ne k}Q_{kj}^2\\ \ \\ &=\sum_k(\Sigma_{kk}^2-2\Sigma_{kk}Q_{kk})+\sum_{j,k}Q_{kj}^2\\ \ \\ &=\text{Tr}(\Sigma^2)+\text{Tr}(Q^TQ)-2\sum_k\Sigma_{kk}Q_{kk}\\ \ \\ &=\text{Tr}(\Sigma^2)+n-2\sum_k\Sigma_{kk}Q_{kk} \end{align} Para minimizar esta cantidad a lo largo de $Q$, ya que las entradas de $\Sigma$ son no negativos y $Q_{kk}\in[-1,1]$, tenemos que elegir el $Q_{kk}=1$ todos los $k$, lo que hace que $Q=I$.

Así que el mínimo es de $$ \|\Sigma-I\|_F=\|U\Sigma V^T-UV^T\|_F=\|UN-UV^T\|_F. $$