¿Existe una definición formal de convergencia de series?

Question

A menudo se le pide a uno que compruebe si una serie dada converge o no en su primer año de universidad. ¿Existe una definición formal que nos permita comprobarlo? Sólo nos dan un montón de pruebas difíciles de recordar (nunca me ha gustado empollar en matemáticas), y una búsqueda en Google sólo arroja resultados relativos a secuencias.

Answer 1

La definición formal es la siguiente $$ \sum_{k=1}^\infty a_k $$ converge exactamente si el secuencia de sus sumas parciales converge, es decir, si la secuencia $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ definido por $$ s_n = \sum_{k=1}^n a_k $$ converge. En otras palabras por definición tener eso $$ \sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n\to\infty} s_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k $$

Answer 2

Una serie $a_n$ converge si el límite $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^n{a_i}=L$$ existe y es finito. En otras palabras, para todo $\epsilon>0$ existe un $N$ tal que para todo $n>N$ , $$\left|L-\sum_{i=0}^n{a_i}\right|<\epsilon$$

Answer 3

Sea $\sum_{n=m}^\infty a_n$ sea una serie infinita formal. Para cualquier número entero $N\geqslant m$ definimos el $N^{\text{th}}$ suma parcial $S_N$ de esta serie sea $S_N:=\sum_{n=m}^N a_n$ Por supuesto, $S_N$ es un número real. Si la secuencia $(S_N)_{n=m}^\infty$ converge a algún límite $L$ comme $N\to\infty$ entonces decimos que la serie infinita $\sum_{n=m}^\infty a_n$ es convergente y converge a $L$ también escribimos $L=\sum_{n=m}^\infty a_n$ y decir que $L$ es el suma de la serie infinita $\sum_{n=m}^\infty a_n$ . Si las sumas parciales $S_N$ diverge entonces decimos que la serie infinita $\sum_{n=m}^\infty a_n$ es divergente .

de Terence Tao - Análisis I.