Acabo de empezar leyendo topología así que soy un principiante pero ¿por qué se definen espacios topológicos en términos de sistemas abiertos? Me parece difícil y antinatural pensar intuitivamente. Quizás la razón es que no puedo verlos visualmente. Tomar los grupos, por ejemplo, están relacionadas directamente al físico rotaciones y números, así que me permita ver en el trabajo. ¿Hay una analogía similar o definición que podría permitirme comprender espacios topológicos más intuitivo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay una pregunta de MathOverflow sobre este asunto; esta respuesta es una buena explicación intuitiva, aunque probablemente también encontrar algunas de las otras respuestas útiles.
Michael Hardy
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Creo que el % de mitad-abra el intervalo $(0,1]$con los sistemas abiertos generalmente (por ejemplo, $(1−ε,1]$ es un barrio abierto de $1$.
Luego modificar la colección de conjuntos consideradas "abiertas" para que cada barrio abierto de $1$ contiene algún conjunto de la forma $(1−ε,1]∪(0,ε)$, es decir, cubre las partes pequeñas de ambos extremos del intervalo. ¿Puede entender que esta modificación en el que conjuntos se consideran abiertos también modifica la forma en que el espacio está conectado juntos?
Jonathan Moore
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De Wikipedia:
En topología y ramas relacionadas de matemáticas, los axiomas del encierro de Kuratowski son un conjunto de axiomas que puede utilizarse para definir una estructura topológica de un conjunto. Son equivalentes a la definición de sistema abierta más comúnmente utilizada. Primero fueron introducidos por Kazimierz Kuratowski, en una forma ligeramente diferente que aplica sólo a los espacios de Hausdorff.
jmans
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En "Quantales y la continuidad de los espacios" Flagg se desarrolla la noción de un espacio métrico en el que la distancia de la función toma valores en un valor quantale. Un valor quantale es una abstracción de las propiedades de la poset $[0,\infty]$ necesario para " hacer el análisis. Luego se demostró que cada espacio topológico $X$ es metrizable en el sentido de que no existe un valor quantale $V$ (dependiendo de la topología en $X$) de forma tal que el espacio topológico $X$ está dado por el abierto de bolas determinado por una métrica estructura en $X$ con valores en $V$. En este nivel de abstracción se ve así, que el abrir conjuntos de axiomatization para la topología de la nada, pero de la buena vieja noción de un espacio métrico, sólo toma valores en el valor quantales otros de $[0,\infty]$.
