¿Es cada secuencia convergente en un espacio topológico del vector limitado?

Question

Se sabe que en un espacio métrico, cada secuencia convergente es acotada. En un espacio vectorial topológico (TVS), también se tiene la noción de conjuntos acotados.

Aquí está mi pregunta:

Es cada secuencia convergente en un espacio vectorial topológico limitada?

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Deje $\{x_n\}$ en TELEVISORES $X$$\lim x_n=0$. Creo que uno puede utilizar la propiedad de que cada barrio de $0$ es absorbente (y por tanto, cada conjunto finito de $X$ es limitado) para mostrar que el $\{x_n\}$ está acotada. Pero no sé cómo hacer el caso general.

Answer 1

El conjunto de puntos de una secuencia convergente, junto con el límite de la secuencia (de cualquier límite si el espacio no es Hausdorff), forma un (cuasi)conjunto compacto en cualquier espacio topológico. Porque si hemos abierto que cubre $\mathscr{U}$ $S := \{ x_n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{\lambda\}$ donde $x_n \to \lambda$, entonces no es un $U_{\lambda} \in \mathscr{U}$$\lambda \in U_{\lambda}$. Por definición de convergencia, el conjunto $E = \{n \in \mathbb{N} : x_n \notin U_{\lambda}\}$ es finito, y por cada $e\in E$, se puede elegir una $U_e\in \mathscr{U}$$x_e \in U_e$. Así lo finito de la familia $\{U_{\lambda}\} \cup \{ U_e : e \in E\}$ cubre $S$. Desde $\mathscr{U}$ fue arbitraria abrir la cubierta de $S$, siempre cubriendo de $S$ tiene un número finito de subcover, es decir, $S$ es (casi)compacto.

Desde los barrios de $0$ son de absorción, (cuasi)conjuntos compactos en un espacio vectorial topológico son acotados. Deje $K \subset X$ (cuasi)compacto. Si $U$ es cualquier barrio de $0$, hay un equilibrado abierto de vecindad $V$$0$$V \subset U$, y

$$X = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} n\cdot V$$

desde $V$ es absorbente. Por lo tanto $\{ n\cdot V : n \in \mathbb{N}\}$ es una cubierta de $K$. Por quasicompactness, tiene un número finito de subcover $\{ n\cdot V : n \in F\}$. Desde $V$ es equilibrada,

$$\bigcup_{n\in F} n \cdot V = (\max F)\cdot V,$$

y por lo $K \subset m\cdot V \subset m\cdot U$$m = \max F$. Desde $U$ fue arbitraria, esto demuestra que $K$ está acotada.

Y cualquier subconjunto de un conjunto acotado es acotada, naturalmente.

Answer 2

Estoy tratando de dar una prueba mediante el solo uso de algunas propiedades básicas de conjuntos acotados:

• Si $A$ $B$ están delimitadas en $X$, $A+B$ también es limitada;
• Cada subconjunto finito de $X$ está acotada.

Supongamos $x_n\to 0$. Deje $V$ ser una equilibrada $0$-barrio. Existe un entero positivo $N$ tal que $x_n\in V$$n>N$. Desde $S_N:=\{x_n:n=1,\cdots,N\}$ es limitada (cualquier conjunto finito está delimitado en una TV), tenemos $$ S_N\subconjunto\lambda_1 V\subconjunto (1+\lambda_1)V $$ para algunos $\lambda_1>0$ donde usamos el hecho de que $tV\subset t'V$ si $t\leq t'$ equilibrado $0$-los barrios. Tenga en cuenta que $\{x_n\}_{n>N}\subset V\subset (1+\lambda_1)V$. Por lo tanto $\{x_n\}_{n\geq 1}$ está acotada.

Supongamos que, en general, $x_n\to x$ algunos $x\in X$. Desde $V$ $0$- nbhd iff $V+x$ $x$- nbhd, uno ha $x_n-x\to 0$. Por lo que hemos mostrado anteriormente, $\{x_n-x\}$ está acotada. Desde $\{-x\}$ es limitado y $$ \{x_n\}=\{x_n-x\}+\{x\}, $$ Podemos concluir que el $\{x_n\}$ también es limitada ya que la suma de Minkowski de dos acotado es acotada.