Aquí es una forma que utiliza la función Gamma, y que era extrañamente la primera cosa que viene a la mente. (¡Advertencia!: Quizás es más complicado de lo necesario.)
Deje $I$ denotar su serie infinita. Podemos escribir esto como $$I=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\prod_{m=0}^{n}\frac{3m+1}{5m+5}$$, que se convierte en
$$I=\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^{n}\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}(n+1)!}\prod_{m=0}^{n}\left(m+\frac{1}{3}\right)\right).$$
Ahora desde $$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\prod_{m=0}^{n}\left(m+\frac{1}{3}\right)=\Gamma\left(n+\frac{4}{3}\right)$$
tenemos
$$I=\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}(n+1)!}\Gamma\left(n+\frac{4}{3}\right).$$
Por la definición de $\Gamma(s)$ hemos $$\Gamma\left(n+\frac{4}{3}\right)=\int_{0}^{\infty}t^{n+\frac{1}{3}}e^{-t}dt,$$ which implies that $$I=\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{2}{3}}e^{-t}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}t^{n+1}}{5^{n+1}(n+1)!}dt$$ by switching the order of summation and integration. As $$1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}t^{n+1}}{5^{n+1}(n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n}t^{n}}{5^{n}n!}=e^{-\frac{3t}{5}}$$ it follows that $$I=\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{2}{3}}e^{-t}\left(1-e^{-\frac{3t}{5}}\right)dt=1-\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{2}{3}}e^{-\frac{8}{5}t}dt$$ Setting $u=\frac{8}{5}t$ we get $$\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{2}{3}}e^{-\frac{8}{5}t}dt=\frac{1}{\Gamma\left(1/3\right)}\left(\frac{5}{8}\right)^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{\infty}u^{-\frac{2}{3}}e^{-u}du=\frac{\left(5\right)^{\frac{1}{3}}}{2}$$and hence $$I=1-\frac{\left(5\right)^{\frac{1}{3}}}{2}$$ como se desee.
Espero que le ayude,
