¿Por qué matemáticos a veces nos hacemos famosas conjeturas en su investigación?

Question

Voy a utilizar un ejemplo concreto, pero me refiero en general. Fui a un número de la teoría de la conferencia y vi una cosa que me sorprendió: Casi la mitad de las conversaciones comenzaron con "Suponiendo que la generalización de la Hipótesis de Riemann..." Casi siempre, el meollo de su argumento dependía de esta conjetura.

¿Por qué los matemáticos realizar la investigación asumiendo una conjetura? Por definición, no se sabe para ser verdad todavía. En la oportunidad, que resulta ser falso, no todos los papeles que asume la conjetura de ser invalidado? Me pueden responder a mi propia pregunta, pero yo especulo que:

1. Hay una fuerte evidencia en apoyo de la particular conjeturas (Hipótesis de Riemann, en particular) y la falta de pruebas en su contra, que es "seguro" para asumir.

2. No es tanto sobre el resultado obtenido, pero los métodos y técnicas que se utilizan para demostrarlo. Tal vez suponiendo que la conjetura, en el caso de la Hipótesis de Riemann, que conduce al desarrollo de nuevas técnicas en la teoría analítica de números.

Answer 1

Por cuatro razones principales:

1. Si la famosa conjetura es demostrar la verdad, los resultados demostrados son resultado cierto.

2. Si el razonamiento es correcto, pero demostró resultados se demuestre la falsedad, la famosa conjetura es resultado ser falsos.

3. Otros pueden ser capaces de probar más resultados en base a los resultados demostrados que pueden ser probados como falsos, lo que demuestra la famosa conjetura falsa.

4. Mostrando interesantes consecuencias del famoso teorema y sorprendentes conexiones con otras áreas de investigación genera interés en demostrar que la famosa conjetura es verdadera.

Answer 2

Los resultados podrían no ser invalidado sino que sería dictada vacuo, es decir, cierto, pero ya no informativo.

Un resultado dice que Si la hipótesis de Riemann es cierto, entonces bla, bla, bla mumbo jumbo.

Si la hipótesis de Riemann, en última instancia, se ve que es falso, lo cierto es que si la hipótesis de Riemann es cierto, entonces bla, bla, bla mumbo jumbo.

"Son todos los teléfonos celulares en el aula apagado?", pregunta al instructor. Si sucede que no hay teléfonos celulares en el aula, entonces la respuesta correcta es "sí". Que el "vacío de la verdad". Este es un ejemplo que muestra cómo el concepto de vacío verdad puede ser muy práctico. La respuesta "sí" no sería más informativo si se enteró de que no hay teléfonos celulares en el aula. Y si no hay teléfonos celulares en el aula, es muy probable que ni siquiera se sabe de que. Sólo sé que usted no tiene un teléfono celular, usted no sabe que acerca de todos sus compañeros de clase.

Answer 3

Una posible razón para suponer que una conjetura y la generación de resultados es que si usted no cree que la conjetura y de la esperanza de eventualmente disparar hacia abajo.

Un gran ejemplo histórico de esto es el postulado paralelo. Este establece:

Dada una recta y un punto no en esa línea, no es exactamente una recta que pasa por este punto que también es paralela a la recta dada.

Se creía que la parte de la geometría Euclidiana presentado por Euclides antes de este postulado paralelo implícito el postulado. En otras palabras, muchos matemáticos creían que el postulado paralelo era redundante axioma. Durante más de mil años, muchos matemáticos luchado con este "conjetura".

Algunos comenzaron suponiendo que el postulado paralelo era falso, y trató de obtener una contradicción. Estos investigadores fueron conducidos a un "extraño" mundo donde hay infinitamente muchas líneas paralelas a través del punto dado y triángulos' ángulos suman menos de $180^\circ$.

No fue hasta la obra de János Bolyai y Nikolai Lobachevsky (Gauss previsto tanto de ellos, pero no de publicar sus conclusiones) que comenzó a quedar claro que el postulado paralelo ¿ no depender de los otros axiomas y que es la negación podría llevar a otros a la perfección igualmente coherente tipo de geometría (es decir, hiperbólica y la geometría esférica).

Que es la investigación. Si usted no sabe algo es verdadero o no. Suponer o asumir su negación y ver a dónde te lleva. A veces esto responda a tu pregunta original. A veces se obtiene una respuesta que no esperaba!

Answer 4

Para proporcionar un poco de contrapunto a las otras respuestas, aquí es un ejemplo de una situación similar, lo que podría proporcionar una mejor imagen, ya que la hipótesis en cuestión resultó ser falso (por lo que son más capaces de llegar a una conclusión).

La hipótesis en cuestión es el Lusztig conjetura, que proporciona una fórmula para el carácter de un simple módulo para una reductora algebraica de grupo en términos de los personajes de ciertas "estándar" de los módulos (no voy a entrar en detalles de la conjetura de sí, aparte de señalar que es una característica de $p$ análogo de la Kazhdan-Lusztig conjetura, que es conocido para ser verdad).

Esta conjetura ha sido esperado para ser verdad por lo menos 20 años, por lo que muy pocas personas han estado trabajando en las consecuencias de la conjetura. Una razón más por una gran cantidad de trabajo que se ha hecho suponiendo que la conjetura es que se sabe para contener cuando la característica es lo suficientemente grande en relación a la Coxeter número del grupo (debido a la obra de Andersen, Jantzen y Soergel), por lo que parecía sólo una cuestión de bajar este obligado.

Más precisamente, la conjetura de los estados que la fórmula que se debe mantener cuando $p\geq 2h-2$ (o posible $p\geq h$). Esto fue refutado en 2013 por Williamson, quien, de hecho, mostró que no es posible proporcionar ningún lineal obligado en $p$ en términos de la Coxeter número, de tal manera que la fórmula se mantiene. También, parece que, probablemente, ni siquiera un polinomio obligado será posible, aunque sé que esto todavía se basa en un número teórico de conjeturas (tales como la existencia de infinitos números primos entre los Finonacci números).

Sobre el trabajo que supone la conjetura: gran parte de este trabajo no ha sido en vano, y, de hecho, mucho de lo jugado en la refutación de la hipótesis, que va a través de una larga cadena de razonamiento a partir de la conjetura y el uso de un montón de la labor que se ha realizado suponiendo que.
También, mientras que los resultados en sí podría no ser cierto, los métodos utilizados por ellos, así puede llegar a ser todavía aplicable, ya que parece que la conjetura será "cerca" de ser verdad (es decir, que sólo podría fallar por un pequeño número de los simples que de los módulos). Así que ahora una gran cantidad de esfuerzo se va a la comprensión más precisa cómo la conjetura de falla.

Esto no quiere decir que no hay un montón de resultados que deben ser vistos de una manera ligeramente diferente de la luz ahora, desde cualquier supuesto de la hipótesis se va a limitar severamente el poder de los resultados.

Answer 5

Me puede dar una perspectiva individual...en primer lugar, Rh es un caso muy especial. Hilbert pensado que podría ser todavía sin resolver en 1.000 años.

Ahora, yo escribí un artículo con Irving Kaplansky y Alexander Schiemann. Hemos encontrado todas las posibles, umm, widgets, 913 de ellos. No había pruebas de que algunos de 22 de ellos realmente eran genuinos de los widgets. Tal vez sobre el 2012, un estudiante de posgrado que se llamaba Oliver me envió un preprint acerca de eso. Tal vez se apareció por ahora. De todos modos, es pdf número 9 en OLIVER. Supongo que fue originalmente un capítulo de su tesis doctoral. Me gustó; se dice que GRH implica que los 14 restantes son realmente las cosas widgets. A mí, me dice que no era estúpido; se necesita una enorme resultado para refutar la widgetness de esas cosas.

Mientras tanto, he escrito tres o cuatro papeles con Alex. En la cena en una conferencia a principios de 2013, dijo que si he mencionado resultados implícita por RH de nuevo iba a perder todo el respeto para mí. Así que, yo no lo traen más.

EEDDIITT: la mayoría de la información que cualquiera podría desear en los widgets están en TERNARIO. Son regulares ternario formas cuadráticas. El ejemplo más antiguo es $$ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2. $$ Gauss demostró que se puede solucionar $n=x^2 + y^2 + z^2 $ mientras $n \neq 4^k (8w + 7).$ Esto es a menudo llamado las Tres de la Plaza Teorema, que creo que es inteligente. hay un total de 102 tales "regular" las formas en la lista me llama Dickson_Diagonal; estos son del tipo $f(x,y,z) = a x^2 + b y^2 + c z^2$ con $1 \leq \leq b \leq c$ y $\gcd(a,b,c) = 1.$ Dickson también escribió en el número de los no representados. Muy práctico.

Uno de los restantes no probada es $$ f(x,y,z) = 3 x^2 + 6 y^2 + 14 z^2 + 4 y z + 2 z x + 2 x y. $$ Esta forma, con argumentos enteros, nunca es igual a $4m+1, 16m+4, 16m+10, 64 m+40, 4^k(16+2) $ pero parece representar todo lo demás, marcada muy alto por ordenador. Tal vez, tal vez no, pero la GRH implica.