Riemann traz teorema ' consecuencia s

Question

Es bien sabido que el mapeo de Riemann teorema afirma que para cualquier abierto simplemente se conecta $G\subset \mathbb{C}$$z_{0}\in G$, no existe un único bijective analítica de la función $f:G\to \mathbb{D}$, de tal manera que $f(z_{0})=0$ $f^{\prime}(z_{0})>0$ (aquí se $\mathbb{D}$ denota el abrir la unidad de disco).

Les agradecería mucho si me pudieran ayudar a conseguir una respuesta a la siguiente.

Pregunta. Suponiendo, además, que el $\overline{\mathbb{C}}\setminus \overline{G}$ simplemente se conecta y contiene el punto de $\infty$, ¿se puede utilizar el mapeo de Riemann teorema para construyó el único conformación bijection asignación de $\Phi:\overline{\mathbb{C}}\setminus \overline{G}\to \overline{\mathbb{C}}\setminus \overline{\mathbb{D}}$ que satisface $\Phi(\infty)=\infty$$\Phi^{\prime}(\infty)>0$ ?

La existencia de la función anterior $\Phi$ aparece indicado en muchos libros sobre análisis complejo, pero sin dar ninguna explicación a su construcción (sólo mencionó que se sigue de la definición de la integral de asignación teorema).

Yo podría asumir que la respuesta es simple, pero por desgracia no puedo averiguar. Por lo tanto, podía tomar $\Phi(z)=1/f(z)$ donde $f:\overline{\mathbb{C}}\setminus \overline{G}\to\mathbb{D}$ es el mapeo de la del teorema de Riemann (desde $\overline{\mathbb{C}}\setminus \overline{G}$ es abierto y simplemente conectado). Pero, el problema es que la elección en la definición de la integral del teorema $z_{0}=\infty$ $f$ satisfactorio $f(\infty)=0$, $f^{\prime}(\infty)>0$, llegamos $\Phi(\infty)=1/0=+\infty$, pero $\Phi^{\prime}(\infty)=-\frac{f^{\prime}(\infty)}{f^{2}(\infty)}=-\infty$. Se esperaba llegar hasta aquí $\Phi^{\prime}(\infty)>0$, y el questuon es cómo podría ser fijado de esta cosa ?

Gracias de antemano.

George

Answer 1

No se puede aplicar el teorema como se indica a $z_0=\infty$. De hecho, sin demasiada dificultad, podemos observar que la conclusión a la que $f(\infty)=0$ $f'(\infty)>0$ es imposible. Si $f$ es holomorphic en $\infty$ (en particular, $f(\infty)$ es finito), a continuación, $f'(\infty)$ debe $0$.

Por qué? Bien, $f$ "holomorphic en $\infty$" realmente significa que $z \mapsto f(1/z)$ es holomorphic en $0$. (Por supuesto, cuando digo holomorphic en un punto, me refiero realmente a un barrio de el punto). Por lo $f(1/z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots$ en un barrio de $0$. A continuación, en un barrio de infinito, $f(z) = \cdots + a_2\frac{1}{z^2} + a_1\frac{1}{z} + a_0$ . Por lo $f'$ "en el infinito" es $0$.

No hay ninguna contradicción con el mapeo de Riemann teorema. La singularidad de un mapa de Riemann $\phi$ $\phi(z_0) = 0$ $\phi'(z_0)>0$ sólo funciona para $z_0 \in \mathbb{C}$, no por $z_0 = \infty$.

[Nota: Esto es sólo una razón por la que creo que la formulación de la definición de la integral de asignación teorema en términos de "singularidad a a $\phi(z_0) = 0$ $\phi'(z_0)>0$" es una gran red herring. La existencia de la conformación bijection $\phi$ es el verdadero contenido del teorema. En cuanto a la singularidad, $\phi$ es único hasta la composición con automorfismos de a $\mathbb{D}$. La analítica de automorfismos de a $\mathbb{D}$ son los mapas de la forma $$ M_{a,\theta}(z) = e^{i\theta} \frac{z}{\overline{a}z-1} \qquad (\theta \in \mathbb{R}, \in \mathbb{D}). $$ Estos forman un "tres parámetros de la familia" (un parámetro real $\theta$, un complejo parámetro $a$). Especificando $\phi(z_0)=0$ $\arg(\phi'(z_0))=0$ sólo pasa a ser una forma de uso de los tres grados de libertad para obtener un único $\phi$ (válido para $z_0 \neq \infty$). No hay nada especial acerca de ella, aunque.]

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Tu problema puede ser resuelto de la siguiente manera:

• Deje $U = \overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{G}$. Deje $g(z)=\frac{1}{z-c}$ donde $c$ es algún punto no $U$. Deje $V$ ser la imagen de $U$ bajo $g$. A continuación, $g:U \to V$ es una de conformación bijection.
• Aplicar la versión del mapeo de Riemann teorema como se indica en la parte superior de tu post: Deje $\phi:V \to \mathbb{D}$ ser el mapeo de Riemann $\phi(0)=0$, $\phi'(0)>0$.
• Mapa de $\mathbb{D}$$\overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$$h(z)=1/z$.

A continuación, $\Phi = h \circ \phi \circ g$ es una de conformación bijection de$U$$\overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$, e $\Phi(\infty)=\infty$ $\Phi'(\infty)>0$ (cálculos se omite).