El título es la pregunta. Las partes en negrita a continuación se donde estoy atascado. Esto es lo que he intentado (mucho de esto se me acaba de explicar una sugerencia que he recibido):
Esto viene de Eisenbud 3.17. La sugerencia en la parte de atrás del libro de los estados:
En primer lugar reducir para el caso de que $R$ es Noetherian, pasando a un sub-anillo finitely generado más de $\mathbb{Z}$.
Esta parte estoy completamente perdida.
Después de que la pista va a decir que
$f(x)\in S[x]$ integral $R[x]$, $M:=R[x][f(x)]\subset S[x]$ es un finitely generadas $R[x]$-módulo.
Esto se desprende de uno de los teoremas de la sección.
Deje $\text{coef}(M)$ ser el submódulo de $S$ generado por todos los coeficientes de elementos de $M$. Mostrar que $\text{coef}(M)$ es un finitely generado $R$-módulo.
Sabemos que $f$ es integral por lo satisface una ecuación:
$$f(x)^n+b_{n-1}f(x)^{n-1}+\ldots+b_1f(x)+b_0=0\;\;\;\;\;b_i\in R[x]$$
Esto significa que $M$ es finitely genera como una $R[x]$-módulo de $\{1,f(x),\ldots,f^n(x)\}$. A partir de esto, es fácil ver que $\text{coef}(M)$ es finitely generado.
La sugerencia va en
Si $\alpha$ es la principal coeficiente de $f$, muestran que $R[\alpha]\subset\text{coef}(M)$; de ello se sigue que $R[\alpha]$ es un finitely generadas $R$-módulo para $\alpha$ integral $R$.
No esta solo sigo desde $R\subset\text{coef}(M)$$\alpha\in\text{coef}(M)$...?
Finalmente,
El uso de la inducción sobre el grado y el hecho de que los elementos que forman parte forma un anillo para mostrar que $f\in R[x]$.
Si $f(x)$ tiene el grado $0$ somos, ya que el coeficiente inicial de $f$ es sólo una constante integral sobre la $R$. Y desde $R$ es igual a la integral de cierre, $f\in R[x]$. Ahora suponga $f$ tiene el grado $n$ y los coeficientes en menor grado, en los términos son una parte integral en la $R$. Así, el coeficiente inicial es parte integral de la $R$ y todos los menores coeficientes son parte integral de la $R$ por inducción para todos los coeficientes de $f$ integral $R$. Desde $R$ es integralmente cerrado esto implica $f(x)\in R[x]$.
