¿Cómo uno demostrar que un número complejo dado no es una raíz de la unidad para algún entero positivo alimentación n? Decir, quiero demostrar que no existe un entero positivo $n$ tal que $(2i)^n = 1$, yo podía argumentar que $(2i)^n = 2^ne^{i \pi n/2}$, y sabemos que $2^n \neq 1$ para cualquier entero positivo $n$. Pero ¿cómo podemos demostrar que no existe ningún entero positivo $n$ tal que $2^n = \frac{1}{e^{i \pi n/2}}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para cualquier % real $a$, $x = e ^ {i\pi un} = \cos(\pi a) + i\sin(\pi a) $ % que $|x| = 1$.
Por lo tanto, desde $|uv| = |u| |v|$ para cualquier complejo $u$ y $v$, entonces, para cualquier complejo $c$y real $a$, $| c e ^ {i\pi un} | = | c | | e ^ {i\pi un} | = | c | $.
Por lo tanto, si $| c | \ne 1$, $c e ^ {i\pi un} $ no puede ser una raíz de la unidad.
