Un integral avanzado $\int_0^1 \frac{(2 e)^{-1/y} \left(2 e^{1/y}-e 2^{1/y}\right)}{1-y} \ dy$

Question

Me gustaría preguntarle cómo le gustaría enfocar la integralidad de lo siguiente

$$\int_0^1 \frac{(2 e)^{-1/y} \left(2 e^{1/y}-e 2^{1/y}\right)}{1-y} \ dy$$

y luego recomendarme algunas herramientas que emplearías. Es difícil siquiera imaginar cómo empezar aquí.

Answer 1

Aquí hay una aproximación, dando su integral en términos de valores de una función especial.

Por el cambio de variable $x=1/y$ se obtiene $$\begin{align} \int_0^1 \frac{(2 e)^{-1/y} \left(2 e^{1/y}-e 2^{1/y}\right)}{1-y} {\rm d}y &=\int_1^{+\infty} \frac{(2 e)^{-x} \left(2 e^x-e 2^{x}\right)}{x-1} \frac{{\rm d}x}{x}\\\\ &=\int_1^{+\infty} \frac{2^{1-x} -e^{1-x}}{x-1} \frac{{\rm d}x}{x}\\\\ &=\int_0^{+\infty} \frac{2^{-u} -e^{-u}}{u} \frac{{\rm d}u}{u+1}\\\\ &=\int_0^{+\infty} \left(\int_{\ln 2}^{1}e^{-tu}{\rm d}t \right)\frac{{\rm d}u}{u+1}\\\\ &=\int_{\ln 2}^{1}\left(\int_0^{+\infty} \frac{e^{-tu}}{u+1} du\right){\rm d}t\\\\ &=\int_{\ln 2}^{1} e^t \:\Gamma(0,t) \:{\rm d}t\\\\ &=e \:\Gamma(0,1)-e\: \Gamma(0,\ln 2)-\ln \ln 2\\\\ &=0.2055181967826824478991032883288\ldots \end{align} $$ donde hemos utilizado el Euler incompleto $\Gamma(0,\cdot)$ función .