Distribución de probabilidad para una onda sinusoidal ruidosa

Question

Estoy buscando calcular analíticamente una distribución de probabilidad de muestreo puntos de una función oscilante cuando hay algún error de medición. Ya he calculado ya la distribución de probabilidad para la parte "sin ruido" (lo pondré al final), pero no consigo averiguar cómo incluir el "ruido".

Estimación numérica

Para ser más claros, imaginemos que hay alguna función $y(x) = \sin(x)$ de la que se recogen puntos al azar durante un solo ciclo; si se colocan los puntos en un histograma se obtendrá algo relacionado con la distribución.

Sin ruido

Por ejemplo, aquí está el $sin(x)$ y el histograma correspondiente

Con el ruido

Ahora bien, si hay algún error de medición, entonces cambiará la forma del histograma (y, por tanto, creo que la distribución subyacente). Por ejemplo

Cálculo analítico

Así que espero haberte convencido de que hay alguna diferencia entre los dos, ahora escribiré cómo he calculado el caso "sin ruido":

Sin ruido

$$ y(x) = \sin(x) $$

Entonces, si los momentos en los que tomamos la muestra están distribuidos uniformemente, la distribución de probabilidad para $y$ debe satisfacer:

$$ P(y) dy = \frac{dx}{2\pi} $$

entonces desde

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} $$

y así

$$ P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}} $$

que con una normalización adecuada se ajusta al histograma generado en el caso "sin ruido".

Con el ruido

Así que mi pregunta es: ¿cómo puedo incluir analíticamente el ruido en la distribución? Creo que es algo así como combinar las distribuciones de forma inteligente, o incluir el ruido en la definición de $y(x)$ Pero me he quedado sin ideas y formas de avanzar, así que cualquier sugerencia o consejo, o incluso recomendación de lectura, será muy apreciada.

Answer 1

Depende de cómo esté estructurado el proceso del ruido.

Suponiendo que he entendido bien tu situación, si el ruido es aditivo, independiente e idénticamente distribuido, sólo tendrías que tomar el convolución de la densidad del ruido con la densidad de $Y$ .

Si $X_i$ es aleatorio uniforme sobre un ciclo, su proceso sin ruido condicionado a $x$ es $Y_i|X_i=x_i$ que es degenerado, con media $\sin(x_i)$ y varianza 0. La distribución marginal de $Y$ es una mezcla uniforme de esas distribuciones degeneradas; parece que has calculado correctamente esa distribución; llamemos a esa densidad $g$ .

Si, por ejemplo, su ruido es $\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$ Es decir $f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$ entonces $f*g$ es la densidad de la suma del ruido con esa mezcla uniforme de variables sin ruido.

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(esta convolución se hizo numéricamente; no sé qué tan manejable es esa integral en este ejemplo, porque no lo intenté).

Answer 2

Creo que la expresión derivada de P(x) está desviada por un factor de dos. El tiempo de muestreo distribuido uniformemente equivale a distribuir uniformemente la fase en el intervalo -pi,pi. La función trigonométrica distribuye la probabilidad sobre el intervalo y {-1,1}. La integración de P(y) sobre este intervalo debe ser = 1, no 2 como se obtiene utilizando su integrando anterior. Creo que P(y) = 1/(pi Sqrt(1-y^2))