Medio seno de un ángulo entre los dos rayos en un cono

Question

Estoy buscando un valor promedio de seno de un ángulo entre dos rayos, que estén dentro de un cono con un cierto ángulo.

Dado un cono con una apertura de ${2\chi}$ y dos rayos que se encuentran dentro del cono. Los rayos pueden ser representados como vectores en un sistema de coordenadas esféricas:

$$ {\vec{e_1}=\lbrace1,\phi_1,\theta_1 \rbrace},{\vec{e_2}=\lbrace1,\phi_2,\theta_2 \rbrace} $$

donde ${\phi_1,\phi_2\in[0,2\pi], \theta_1,\theta_2\in[0,\chi]}$ (suponiendo que el eje del cono está alineado con el eje z). La distribución de cada ángulo es uniforme. Es necesario para encontrar el promedio de valor del seno del ángulo entre los rayos (vectores).

Podemos obtener una respuesta simplemente integrar el seno dentro de un área necesaria: $$ {{\frac{1}{4\pi^2\chi^2}}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\sin(\vec{e_1},\vec{e_2})d\phi_1\phi_2\theta_1d\theta_2} $$

Podemos obtener el coseno de un ángulo entre los vectores utilizando el producto escalar:

$${\cos(\vec{e_1},\vec{e_2})=\frac{(\vec{e_1},\vec{e_2})}{|\vec{e_1}||\vec{e_2}|}}=\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\cos\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)+\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}$$

El uso de este un valor promedio de coseno puede ser fácilmente consiguió:

$$ {{\frac{1}{4\pi^2\chi^2}}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(\vec{e_1},\vec{e_2})d\phi_1\phi_2\theta_1d\theta_2=\frac{\sin^2\chi}{\chi^2}} $$

Pero yo no tenía mucha suerte tratando de obtener el promedio de valor del seno. No puedo resolver este:

$$ {{\frac{1}{4\pi^2\chi^2}}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{\chi}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\left(\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\cos\left(\phi_{1}-\phi_{2}\right)+\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}\right)^{2}}d\phi_1\phi_2\theta_1d\theta_2} $$

El uso de la simulación Monte-Carlo tengo esta curva:

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Esta es la forma en que podría configurar este problema: tan solo una sugerencia, en un comienzo posible. (No es una respuesta!)

Si podemos parametrizar la unidad de la esfera de $S^2$$\mathbf{x}=(\theta,\phi)\in[0,2\pi)\times[0,\pi]$, entonces el área del elemento es $dS=\sin\phi\,d\theta\,d\phi$, y estamos interesados en la región polar $R=[0,2\pi)\times[0,\chi]$ a que el área de $$ A=\int_{R}\,dS=\int_{0}^{\chi}\int_{0}^{2\pi}\sin\phi\,d\theta\,d\phi =2\pi\int_{0}^{\chi}\sin\phi\,d\phi =2\pi\left(1-\cos\chi\right). $$ El promedio de valor del seno del ángulo $\alpha=\alpha_{\mathbf{xy}}$ entre uniformemente al azar los puntos de $\mathbf{x},\mathbf{y}\in R$ es entonces $$ \eqalign{ \overline{\sin\alpha}& =\frac1{A^2}\iint_{R^2}\sin\alpha\,dS_{\mathbf{x}}\,dS_{\mathbf{y}} =\frac1{A^2}\iint_{[0,2\pi)\times[0,\chi]^2} \sin\alpha \sin\phi_\mathbf{x}\sin\phi_\mathbf{y} \, d\phi_\mathbf{x}\, d\phi_\mathbf{y} \, d\theta } $$ donde ahora, como usted, mediante subíndices $1$ $2$ en lugar de$x$$y$, $$ \eqalign{ \cos\alpha &=\cos\phi_1\cos\phi_2+\sin\phi_1\sin\phi_2\cos\theta\\ &=\frac{\cos(\phi_1-\phi_2)+\cos(\phi_1+\phi_2)}2 +\frac{\cos(\phi_1-\phi_2)-\cos(\phi_1+\phi_2)}2\cos\theta\\ &=\cos(\phi_1+\phi_2)\frac{1-\cos\theta}2 +\cos(\phi_1-\phi_2)\frac{1+\cos\theta}2\\ &=\cos(\phi_1+\phi_2)\,\sin^2\frac\theta2 +\cos(\phi_1-\phi_2)\,\cos^2\frac\theta2\\ } $$ desde $\theta=\theta_\mathbf{x}-\theta_\mathbf{y}$ se distribuyen de manera uniforme en $[0,2\pi)$ (hasta un trivial de aditivos varios de $2\pi$).