Análogo de la lema de Schwartz – Zippel de subespacios

Question

Deje $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ ser distinto de cero multivariante polinomio del total grado $d$ más de los reales, y $S \subset \mathbb{R}$ ser finito. Escoge un entero positivo $k$, elija $y_1, \ldots, y_k$ al azar y de manera uniforme de $S^n$, y considerar la $k$-variable del polinomio

$$g(t_1, \ldots, t_k) = f(t_1 y_1 + \cdots + t_k y_k)$$

Pregunta: ¿hay una buena cota superior de la probabilidad de que $g(t)$ es el polinomio cero?

Esto es similar a la de Schwartz-Zippel lema, pero en lugar de seleccionar un solo punto podemos escoger una al azar lineal subespacio. De hecho, si $k = 1$, $f$ es homogénea, y $0 \notin S$, es exactamente la de Schwartz-Zippel lema, y hemos

$$Pr(g=0) \le \frac{d}{|S|}$$

Para general $k$, sólo se permite un $t_i$ a ser distinto de cero en un tiempo da

$$Pr(g=0) \le \frac{d^k}{|S|^k}$$

Sin embargo, esta obligado parece muy débil, ya que ignora todos los de la cruz términos en $g$, así que esperemos que mucho más vinculado existe.

Answer 1

Lamentablemente, el lema de Schwartz-Zippel es cerca bien independientemente del grado con ninguna hipótesis adicionales en el polinomio. Por ejemplo, si

$$ f(x_1, \ldots, x_n) = (x_1 - s)^d $$

$s \in S$, entonces

$$ Pr(g = 0) \ge \frac{1}{|S|^k} $$

así, Schwartz-Zippel es apretado hasta el relativamente pequeño $d^k$. En general, términos de grado superiores no siempre ayuda ya que son energías de un término lineal.

Es posible que una asunción de irreductibilidad ayudaría, aunque.