Una "limpia" en el enfoque de las integrales.

Question

Muchos campos de las matemáticas inicio de la "sucia". En el cálculo hacemos todo tipo de $\epsilon$-$\delta$ alimenticios, hasta topología da un elegante formulación utilizando los conjuntos. Un primer curso de álgebra lineal por lo general comienza con la definición de las matrices, sus multiplicaciones, determinantes, etc, entonces toda la teoría se basa en que. Pero si partimos de espacios vectoriales lineales y operadores en ellos, todo parece encajar en mucho más limpiamente.

¿Qué acerca de las integrales? Existen al menos dos enfoques para definir las integrales de Riemann: superior e inferior de las integrales; o las sumas de Riemann de las particiones. Ninguno de ellos se ve elegante para mí. Así, hay una forma "limpia" para desarrollar la teoría de las integrales?

Answer 1

Permítame decirle en primer lugar que estoy totalmente de acuerdo con los comentarios publicados anteriormente.

En cualquier caso, la respuesta a lo que usted desea que depende fuertemente de lo que significa "limpio" y, lo que es más importante, a qué te refieres por "la teoría de las integrales".

Con respecto a la "limpia", su ejemplo es abrir establece como contraposición a la $\varepsilon$-$\delta$. Pero cuando se quiere hacer el hormigón manipulaciones con bloques abiertos en un espacio métrico que terminan luchando con las bolas, y probar cosas exactamente por el uso de $\varepsilon$-$\delta$; así que no es "más limpio". Sólo más general, como dijo Arturo.

Con respecto a la "teoría de las integrales": si desea obtener una integral que representa lo que la integral de Riemann representa (es decir, "el área debajo de la curva"), tendrá que lidiar con algún tipo de límites de sumas. Yo personalmente prefiero Lebesgue, que es más limpio y más general, pero todavía implica una buena cantidad de "sucio".

Si usted prescindir de la necesidad de su ser integral ", el área debajo de la curva", usted podría darse cuenta de que todo integrante que hace es asignar un número a una función en una forma lineal. Así que se podría pensar de un localmente compacto Hausdorff espacio de $X$, considere la posibilidad de $C_c(X)$, es decir, los valores complejos de forma compacta compatible funciones continuas en $X$, y creo que de todas las funcionales (es decir, escalar con valores, funciones lineales) $$ \varphi:C_c(X)\to\mathbb{C}. $$ Este espacio es bien conocida, y cada una de estas funcional es una "integral" en cierto sentido propio (la integral de Riemann de ser tan sólo un ejemplo en particular en el caso de que $X$ es un cerrado hipercubo en $\mathbb{R}^n$). Este último punto de vista es mucho más "limpios" para mi gusto, pero probablemente no es lo que usted está buscando.

Answer 2

No me gusta mucho la distinción limpio/sucio que la mayoría de las veces esconde una preferencia por el formalismo en lugar de constructivismo. Y no estoy seguro de que el formalismo es la mejor cosa que sucedió a las matemáticas. Para usted, es la limpieza sólo encapsulación o enfoque diferente ?

De todos modos, la siguiente construcción de la integral de Riemann debe satisfacer.

1. Deje $I$ ser un segmento de $\mathbb R$. Considere el espacio vectorial $\mathcal C(I)$ funciones $I\to \mathbb R$, junto con la norma $\| \cdot \|_\infty$. Es un espacio de Banach (es decir, se completa de esta norma).

2. Ahora, considere la posibilidad de $V$ el sub-espacio vectorial de $\mathcal C(I)$ generado por el indicatrix funciones de la forma $1_{[a,b]}$, $a,b\in I$. Estas son las funciones de paso.

3. Definir una forma lineal $\int : V \to \Bbb R$ por la fórmula $$\int 1_{[a,b]} = |b - a|$$ En este punto, usted tiene que comprobar que esta definición es fundado por la comprobación de que si la suma finita $\sum_i \alpha_i 1_{[a_i,b_i]}$ es la función cero, a continuación, $\sum_i \alpha_i |b_i - a_i|$ es cero así.

4. Compruebe que $\int$ $|I|$- lipschitzian, donde $|I|$ es la longitud de $I$, es decir $$\left|\int (f - g)\right| \leqslant |I|\| f - g\|_\infty$$

5. Recordar este maravilloso y fácil de resultado :
   Deje $X$ $Y$ ser métrica espacios, y asumir que $Y$ es completa. Para cada $V$ subconjunto de $X$ $f : V\to Y$ uniformemente continua, entonces existe una única extensión de $f$ $\overline V$que es uniformemente continua.

6. Aplicar este resultado con $\mathcal C(I)$, $\Bbb R$, $V$ y $\int$, para obtener una forma lineal $$ \int : \overline V \longrightarrow \Bbb R$$ Esta es la integral de Riemann en $I$

7. Compruebe que $\overline V$ contiene todas las funciones continuas, y mucho más, y es completa. Las funciones en $\overline V$ son llamados dictaminó funciones, o regulado funciones. Tenga en cuenta que usted no obtenga cada Riemann-integrable función de esta manera (cf. Sam L. comentario).

Cómo siempre, se debe tener en cuenta que incluso si este enfoque simplificar la construcción en sí misma, no simplificar las pruebas acerca de la integral de riemann cualquier otra, y es muy importante tener una representación concreta para esta terminación $\overline V$.

EDITAR
He sido ruega por correo electrónico a detalle esta respuesta, así que aquí estoy ! No sé de ningún libro o una referencia a tener este punto de vista, yo sería feliz si alguien tenía un uno.

Answer 3

Uno puede entender la integración como una forma de constituir los medios. Una forma muy elegante, la caracterización de la integral en $[0,1]$ puede ser obtenida mediante el uso de alguna categoría de la teoría y el análisis funcional. Usted puede encontrar la caracterización en el universal espacio de Banach por Tom Leinster. No creo que la construcción le da mucho pesar y demostrando que el objeto existe todavía llevará algún tiempo. También, en realidad no integrar funciones, pero ciertas clases de equivalencia de funciones en este enfoque.

[2015-09-07: link actualizado]

Answer 4

AFAIK, un "pulido" de la versión de la teoría de Riemann, la integración puede ser hecha a mano por medio del concepto topológico de la red, o secuencia generalizada (véase Moore-Smith Convergencia en la Wikipedia).

Va en las siguientes líneas: tomar una función $f\colon [a, b]\to \mathbb{R}$ e introducir el conjunto $S$ que consta de todos los pares $(\mathcal{D}, \xi)$, donde:

1. $\mathcal{D}=\{[x_1, x_2]\ldots[x_{\omega}, x_{\omega+1}]\}$ es una partición de a $[a, b]$;
2. $\xi=\{\xi_1 \in [x_1, x_2], \ldots \xi_{\omega}\in [x_{\omega}, x_{\omega+1}]\}$ es una elección de puntos en $[a, b]$ subordinada a la partición de $\mathcal{D}$.

Para cada par $(\mathcal{D}, \xi)\in S$ definimos la correspondiente integral de la suma:

$$\sigma_f(\mathcal{D}, \xi)=\sum_{r=1}^\omega f(\xi_r)(x_{r+1}-x_r).$$

$f$ se le dijo entonces a ser integrable si $\sigma_f(\mathcal{D}, \xi)$ es convergente como la partición de la norma $\lVert \mathcal{D}\rVert=\max(x_{r+1}-x_r)$ se aproxima a cero, una frase que se da significado preciso en Moore-Smith la teoría de la convergencia. Si este es el caso, entonces podemos definir

$$\int_a^b f(x)\, dx=\lim_{\lVert \mathcal{D}\rVert \to 0} \sigma_f(\mathcal{D}, \xi).$$

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Creo que esta construcción es exactamente lo que el OP que estaba buscando. Por desgracia, la única referencia sé que es italiano: Analisi matematica 1 por Antonio Avantaggiati, Ambrosiana editora, 1994.

EDICIÓN de La construcción también puede ser encontrado en Kelley libro de Topología General: es el Problema de H del capítulo 2. (Gracias a Michael Greinecker para señalar esto).