Tengo un conjunto de variables aleatorias independientes $\{A_1, A_2, B_1, B_2\}$. Todos ellos tienen la misma función de distribución de $F(x)$. Me gustaría encontrar la función de distribución de una variable $C$ donde $C=max(A_1 + B_1, max(A_1, A_2) + B_2)$.
Para encontrar CDF de $max(A_1, A_2)$ puedo multiplicar CDF de $A_1$$A_2$.
Para encontrar $max(A_1, A_2) + B_2$ puedo encontrar convolución de CDF de ambos términos.
Pero ahora estoy luchando por encontrar un CDF de los términos del exterior max, porque los términos del exterior max no son independientes.
Me podrían ayudar, por favor, la solución de este problema? O dar una buena referencia para que?
Si es necesario, se puede hacer una suposición de una determinada función de distribución para las variables $A_1, A_2, B_1, B_2$.
ACTUALIZACIÓN
He hecho algunas transformaciones:
Considerar todos los posibles resultados:
\begin{equation} C=\begin{cases} A_1 + B_1, &\text{if } &A_1+B_1>A_1+B_2 \wedge A_1+B_1>A_2 + B_2 & (1)\\ A_1 + B_2, &\text{if } &A_1+B_2>A_1+B_1 \wedge A_1+B_2>A_2 + B_2 & (2)\\ A_2 + B_2, &\text{if } &A_2+B_2>A_1+B_1 \wedge A_2+B_2>A_1 + B_2 & (3) \end{casos} \end{equation}
Ahora que el valor de C es
$$ \begin{align} E[C] = &P(A_1 + B_1 = max)\cdot E[A_1 + B_1 \mid A_1 + B_1 = max] + \\ &P(A_1 + B_2 = max)\cdot E[A_1 + B_2 \mid A_1 + B_2 = max] + \\ &P(A_2 + B_2 = max)\cdot E[A_2 + B_2 \mid A_2 + B_2 = max] \end{align} $$
Ahora considere la posibilidad de probabilidades para cada término $(1)$, $(2)$, y $(3)$ por separado.
$$ \requieren{cancel} \begin{align} P(A_1 + B_2 = max) &= P(\cancel{A_1}+B_2>\cancel{A_1}+B_1 \wedge A_1 + \cancel{B_2} > A_2 + \cancel{B_2}) \\ &= P(B_2 > B_1)\cdot P(A_1 > A_2) \\ &= 0.5 \cdot 0.5 = 0.25 \end{align} $$
$P(B_2>B_1) = 0.5$, debido a $B_2$ $B_1$ tienen la misma distribución.
$$ \begin{align} P(A_1 + B_1 = max) &= P(\cancel{A_1}+B_1>\cancel{A_1}+B_2\wedge A_1+B_1>A_2+B_2) \\ &= P(B_1 > B_2)\cdot P(A_1 + B_1>A_2+B_2) \\ &= P(A_1+B_1>A_2+B_2\mid B_1>B_2\wedge A_1>A_2)P(A_1>A_2)P(B_1>B_2) + \\ &\phantom{=} + P(A_1+B_1>A_2+B_2\mid B_1>B_2\wedge A_1<A_2)P(A_1<A_2)P(B_1>B_2) \\ &= 1\cdot 0.5 \cdot 0.5 + P((B_1-B_2)>(A_1-A_2))\cdot 0.25 \\ &= 0.25 + 0.5*0.25 = 0.375 \end{align} $$
$P((B_1-B_2)>(A_1-A_2)) = 0.5$, debido a la convolución de la misma distribuciones conduce a la misma complicado función de distribución.
Poniendo todo en $E[C]$:
$$ \begin{align} E[C] = 0.375\cdot &E[A_1 + B_1 \mid A_1 + B_1 = max] + \\ 0.25\cdot &E[A_1 + B_2 \mid A_1 + B_2 = max] + \\ 0.375\cdot &E[A_2 + B_2 \mid A_2 + B_2 = max] \end{align} $$
Pero por el momento no sé cómo encontrar los valores esperados de los términos que conforman $E[C]$, y no sé si esto es muy útil a todos.
