$\{X_i\}$'s son independientes de Poisson variables aleatorias con los parámetros de $\lambda_i$ respectivamente satisfacer $\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n=\infty$. Definir $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ a continuación muestran que la $$\frac{S_n}{\mathbb{E}(S_n)}\to 1 \quad \text{a.e}$$
Yo :
Esto se ve como un problema con el método de subsecuencias. Primero vamos a probar la convergencia en probabilidad. $$P\left(|S_n-\mathbb{E}(S_n)|>\delta \mathbb{E}(S_n)\right)\le \frac{\text{var}(S_n)}{\delta^2(\mathbb{E}(S_n))^2}=\frac{1}{\delta^2\mathbb{E}(S_n)}\tag{$\ast$}$$ Desde la varianza y la media de poisson son los mismos. También la serie determinada implica $\mathbb{E}(S_n)\to \infty$. Así tenemos que la probabilidad de convergencia. Ahora defina $n_k=\min \{n \mid \mathbb{E}(S_n)\geq k^2\}$ Ahora poniendo $T_k=S_{n_k}$ $(\ast)$ obtenemos que $$P\left(\left|\frac{T_k}{\mathbb{E}(T_k)}-1\right|>\delta\right)\leq \frac{1}{\delta^2k^2}$$ so summing over $k$, we get the lhs converges hence an easy application of Borel Cantelli Lemma 1 gives $\dfrac{T_k}{\mathbb{E}(T_k)}\1 \quad \text{a.e}$. Now I want to prove $$\frac{T_k}{\mathbb{E}(T_{k+1})}\le \frac{S_n}{\mathbb{E}(S_n)}\le \frac{T_{k+1}}{\mathbb{E}(T_{k})}$$ for $n_k\le n<n_{k+1}$ which would give me my solution. Which is obvious. But to finish the proof I need $\dfrac{\mathbb{E}(T_k)}{\mathbb{E}(T_{k+1})}\a 1$. But I can't show this fact. How to do this? I tried to do it with $k^2$ replaced by $2^k$, pero no ayuda. Alguien puede ayudarme?
EDIT : he encontrado este pdf que resuelve este problema en la página 3. Hay que reclamar, que si mostramos $I_n/\mathbb{E}(I_n)\to 1 \; \text{a.e}$, entonces ellos también tienen $S_n/\mathbb{E}(S_n)\to 1\; \text{a.e}$. ¿Por qué es eso? Puedo ver la convergencia en probabilidad de $S_n$ pero nada más. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias.
