¿Qué es

Question

Yo sé que para $X$ conectado a un espacio, $THH(\Sigma^\infty \Omega X) = \Sigma^\infty \Lambda X$, la suspensión del espectro de la libre bucle espacio de $X$. El cálculo puede llevarse a cabo en espacios y luego se transfiere a través de los espectros de $\Sigma^\infty$. ¿Qué es $TC(\Sigma^\infty \Omega X)$? Puede también ser calculado a partir de algún tipo de $TC$ en el nivel de los espacios?

Edit: Tyler respondió a mi pregunta, pero quiero preguntar una segunda pregunta: ¿Es justo decir que el $TC(\Omega X)$ en el mundo de los espacios, después de $p$-realización, es así $X$, y hay un mapa (no una equivalencia, porque tomamos los límites para construir $TC$) $\Sigma^\infty X \to$ la cosa Tyler escribió? (Nota: todos mis $\Sigma^\infty$$\Sigma^\infty_+$.)

Answer 1

El TC espectro, en un primer $p$, este es el homotopy retroceso de un diagrama de

$S^1 \wedge (\Sigma^\infty\_+ \Lambda X)\_{hS^1} \to \Sigma^\infty\_+ \Lambda X \leftarrow \Sigma^\infty\_+ \Lambda X$

después de $p$-finalización. Aquí el lado izquierdo del mapa es el $S^1$-transferencia de homotopy órbitas de vuelta al espectro y a la derecha del mapa es la diferencia entre la identidad y el "$p$'th poder" mapas en el bucle espacio.

Esto es en Bökstedt-Hsiang-Madsen original del papel de la definición topológica de la homología cíclica, en la sección 5.

AÑADIDO POSTERIOR: Esto no funciona en el nivel de espacio, porque no tienen la estructura necesaria. Ellos tienen la $F$ mapas, pero no la $R$ que sólo puede venir de estable consideraciones. Espacios con un grupo de acción realmente sólo tienen una noción de "puntos fijos", es decir, el honesto puntos fijos de la acción del grupo.

Sin embargo, el asociado equivariant espectro de $\Lambda X$ con la construcción de espacios como

$$\Omega^V \Sigma^V \Lambda X = Map(S^V, S^V \wedge \Lambda X\_+)$$

donde $V$ rangos de representaciones de $S^1$. Esto tiene dos "punto fijo" objetos de cualquier grupo cíclico $C$: no hay puntos fijos, que es el espacio

$$Map^C(S^V, S^V \wedge \Lambda X\_+)$$

de equivariant mapas. También está la colección de mapas-en-fijo-puntos

$$Map((S^V)^C, (S^V \wedge \Lambda X\_+)^C)$$

que se llama la "geométrica" de punto fijo objeto, y acepta un mapa de los ordinarios puntos fijos. El hecho de que $(\Lambda X)^C \cong \Lambda X$ implica que se puede interpretar esto como un mapa de $(Q \Lambda X)^C \to (Q \Lambda X)$ donde este último se utiliza un acelerado círculo. Estos mapas dan lugar a la $R$ mapas en la definición de $TC$, y que definitivamente se basan en el hecho de que usted está considerando la asociada a los espectros.

Answer 2

Esto probablemente ofensivamente es ingenuo (lo siento), pero oculto tras el lema "TC es refinamiento del teórico homotopía smart de homotopía $S^1$ puntos de THH fijada" (o un refinamiento no racional de homología cíclica) supongo que el espectro de la suspensión de lazos de unparametrized, $\Sigma^\infty(\Lambda X/S^1)$. ¿Ya que estoy esperando para tener una idea mejor para el TC, podría señalar cosas que saber sobre la respuesta que quede claro esto es una tontería?