Relación abstracta entre Presehaves y Simplicial Sets

Question

Cada presheaf (digamos en un espacio topológico) viene con mapas de restricción. Los bloques abiertos de un espacio topológico están ordenados por inclusión y estas inclusiones rendimiento de las restricciones. Ahora una gavilla satisface una de encolado, con la condición de que usted puede pegamento a lo largo de los elementos que coinciden en común restricciones.

Cada objeto simplicial (digamos un conjunto simplicial) viene con cara de mapas. El simplex categoría es ordenado por caras y degeneraciones y estos mapas de rendimiento simplicial mapas. Ahora un complejo de Kan cumple un encolado* condición: que se puede pegamento a lo largo de simplices que coinciden en las caras comunes.

Hay una profunda marco teórico se relacionan estas 2 nociones? Supongo que este es el caso, y que es más bien trivial.

Lado-pregunta: ¿se Puede definir "degeneraciones" para presheaves?

Ideas?

*no es un encolado condición, pero "de alguna manera similar" (ver las respuestas abajo)

Answer 1

Yo realmente no se la manera de ver el Kan Cuerno relleno de condición como un encolado condición.

Pero poleas y Kan simplicial conjuntos de desempeñar funciones paralelas en sus categorías si usted mira a través de la categoría de modelos de la teoría: En ambos casos usted tiene un endofunctor sustitución de un presheaf por una gavilla, un conjunto simplicial por un Kan respectivamente. Ambas categorías tienen un modelo de estructura - que es un montón de datos que permite manejar la formal inversión de morfismos que se llaman débil equivalencias.Las dos veces que usted tiene un morfismos entre el antiguo y el nuevo objeto que es un débil equivalencia, este proceso se llama fibrant de reemplazo y se formaliza en la teoría de categorías de modelo.

En la presheaf caso de que el débil equivalencias son los morfismos que se convierten en isomorphisms después de la aplicación de la sheafification functor. Si usted formalmente invertir estos, la resultante de la categoría es equivalente a la categoría de las poleas.

En el conjunto simplicial caso de que el débil equivalencias son aquellos mapas que inducen isomorphisms de homotopy grupos después de aplicar geométricas realización. Si usted formalmente invertir las consigue una categoría equivalente a la homotopy categoría de espacios.

Answer 2

Sí, así:

Un conjunto simplicial es precisamente un presheaf en el simplex categoría.

Hay varios modelo de la categoría de estructuras en las categorías de presheaves en general y en simplicial conjuntos en particular.

Con respecto al modelo estándar de la estructura de simplicial establece el Kan complejoes precisamente la fibrant-y-cofibrant objetos.

Con respecto a los locales de la estructura del modelo en presheaves en un sitio de las poleas son precisamente los fibrant-y-cofibrant objetos.

Hay una muy útil la combinación de estas dos afirmaciones:

Un simplicial presheaf es un presheaf en la categoría de producto de la simple categoría y algún sitio.

en el local proyectivas de la estructura del modelo en simplicial presheaves la fibrant objetos son, precisamente, los simplicial presheaves que se Kan-complejos sobre cada objeto de la página y que cumplen los oo-versión de la gavilla de la condición ("origen"): estos son los (hypercomplete) oo-pilas en el sitio dado.

Answer 3

La condición Kan no es exactamente como la condición de la gavilla: la condición Kan te permite "pegar" (como lo pones) en ciertos casos, pero el resultado no es único.

Una mejor analogía con la condición de Kan en la teoría de la gavilla podría ser la noción de un haz de flasque : un haz F es un frasco si para todos los subconjuntos V de U, todas las secciones de F sobre V se extienden a secciones sobre U.