Matriz$A=B+C$ con$B$ simétrica y$C$ antisimétrica

Question

Estoy perplejo en una pregunta y estoy buscando alguna guía sobre cómo hacerlo.

El problema te da:

$x_1 = \begin{bmatrix}9&-4&-2 \\-9&6&-3 \\10&-3&9\end{bmatrix}$

$x_1 = x_2 + x_3$.

$x_2$ es una matriz simétrica y$x_3$ es una matriz antisimétrica.

Esa es esa parte que me confunde. Lo único que he obtenido es que$x_2$ tiene$9,6,9$ en la diagonal y$x_3$ tiene$0$ para su diagonal. ¿Puede alguien ayudarme en el camino correcto?

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier matriz cuadrada$A$, tenemos$$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$ $ donde$A^T$ es la transposición de$A$. Tenga en cuenta que$\frac{1}{2}(A+A^T)$ es simétrico porque$$\frac{1}{2}(A+A^T)^T=\frac{1}{2}(A^T+A).$ $ Del mismo modo,$\frac{1}{2}(A-A^T)$ es antisimétrico porque$\frac{1}{2}(A-A^T)^T=-\frac{1}{2}(A-A^T)$.

Por lo tanto, en su caso cuando$x_1=\begin{bmatrix}9&-4&-2 \\-9&6&-3 \\10&-3&9\end{bmatrix}$, tenemos$$x_2=\frac{1}{2}(x_1+x_1^T)\mbox{ and }x_3=\frac{1}{2}(x_1-x_1^T).$ $

Answer 2

Para continuar, tenemos$$x_1=x_2+x_3$ $ y $$ x_1 = \begin{bmatrix}9&-4&-2 \\-9&6&-3 \\10&-3&9\end {bmatrix} \ quad x_2 = \begin{bmatrix}9&a&b \\a&6&c \\b&c&9\end {bmatrix} \ quad x_3 = \begin{bmatrix}0&d&e \\-d&0&f \\-e&-f&0\end {bmatrix} $$ para $a,b,c,d,e,f \in \mathbb{R}$.

Entonces tenemos ecuaciones simultáneas como$$-4=a+d \quad \text{and} \quad -9=a-d$$ which, when we solve, imply $ a = - \ frac {13} {2}$ and $ d = \ frac {5} {2} $.

Ahora considere las ecuaciones simultáneas$$-3=c+f \quad \text{and} \quad -3=c-f$$ and $$-2=b+e \quad \text{and} \quad 10=b-e.$ $

Answer 3

Para cualquier matriz cuadrada a $A$ sobre un campo $\Bbb F$$\text{char} \; \Bbb F \ne 2$, tenga en cuenta que $A_+ = \frac{1}{2}(A + A^T)$ es simétrica, y $A_- = \frac{1}{2}(A - A^T)$ es sesgar-simétrica, donde $A^T$ es la transpuesta de la matriz $A$. Además, $A = A_+ + A_-$, por lo que simplemente puede aplicar estas fórmulas a la matriz dada $x_1$ y vemos que podemos tomar

$x_2 = \begin{bmatrix} 9 & -\frac{13}{2} & 4 \\ -\frac{13}{2} & 6 & -3 \\ 4 & -3 & 9 \end{bmatrix} \tag{1}$

y

$x_3 = \begin{bmatrix} 0 & \frac{5}{2} & -6 \\ -\frac{5}{2} & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{bmatrix} \tag{2}$.

Por cierto, la descomposición, el $A = A_+ + A_-$ es único; a ver esta que acabo de escribir $A = B_+ + B_-$ como otra simétrica-plus-skew-representación simétrica de $A$. A continuación,$A_+ - B_+ = A_- - B_-$, y desde el lado de la mano izquierda es simétrica, mientras que el lado derecho es el sesgo, que son ambos cero. (Tenga en cuenta que $A^T = A \; \text{and} \ A^T = -A \Rightarrow A = -A \Rightarrow A = 0$.)

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!