Energía e impulso como derivadas parciales de la acción en el caparazón en la teoría de campo

Question

De acuerdo con L & L, si reparamos la posición inicial de una partícula en un momento dado y consideramos la acción en el caparazón como una función de las coordenadas y el tiempo finales,$S(q_1, \ldots, q_n, t)$, entonces ...

ps

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¿Hay una generalización directa de esto para la teoría de campo? ¿Algo que daría la energía y las densidades de momento al diferenciar la acción en el caparazón (con respecto a ... algo)?

Answer 1

Sí, de hecho hay!

En primer lugar, la normal de Hamilton-Jacobi ecuación pasa a través de, por lo que la energía está dada por el tiempo derivado de la concha de la acción.

Pero la pertinente local objeto que es más natural en la teoría de campo es el estrés de energía-impulso del tensor, que contiene las densidades y los flujos de energía y momentum. A la pregunta de qué variar para conseguir esto quizás es claro en la primera: la respuesta es variar el fondo de la geometría en la que la teoría se define.

Más concretamente, uno varía la métrica, que define el local nociones de distancias y ángulos. De hecho, al final, resulta ser la mejor manera de definir el estrés-tensor de energía: (a constantes) la derivada de la acción con respecto a la métrica de fondo.

Por cierto, en teorías gravitacionales, como GR de la métrica en sí mismo es un campo dinámico, por lo que esta en la cáscara de la variación de la acción con respecto a la métrica es, por definición, cero: se puede definir un "asunto" el estrés de la energía simplemente como parte de la acción, pero no hay una buena definición local de la densidad de energía total y de cosas relacionadas en este tipo de teorías.

Answer 2

Sí, este es el correo.g considerados en la Ref. 1. En la teoría de campo, el punto de partida es el off-shell acción$^1$

$$\etiqueta{1} I[\phi; t_f,t_i] ~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\int_{\Sigma} d^3x~ {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t) , $$

donde $t_i$ $t_f$ el valor inicial y final de los tiempos, respectivamente. Ahora nos imponen condiciones de contorno adecuadas (B. C.), por ejemplo, de Dirichlet B. C.

$$\etiqueta{2} \phi^{\alpha}(x,t_i)~=~\phi^{\alpha}_i(x) \qquad \text{y}\qquad \phi^{\alpha}(x,t_f)~=~\phi^{\alpha}_f(x) . $$

Suponemos que para el dado B. C. (2), existe una única solución de $\phi_{\rm cl}$ a la de Euler-Lagrange las ecuaciones. OP está interesado en la (Dirichlet) en la cáscara de acción definido como

$$\tag{3} S[\phi_f,t_f; \phi_i,t_i] ~:=~ I[\phi_{\rm cl}; t_f,t_i].$$

A continuación definimos (de Lagrange) impulso de campo

$$\etiqueta{4} \pi_{\alpha}(x,t) ~:=~\frac{\partial {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)}{\parcial \dot{\phi}^{\alpha}(x,t)}, $$

y la energía

$$\etiqueta{5} h(t)~:=~\int_{\Sigma} d^3x~\left(\sum_{\alpha}\pi_{\alpha}(x,t)\dot{\phi}^{\alpha}(x,t) -{\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)\right).$$

Entonces uno puede mostrar el campo teóricamente$^{2}$ que

$$\tag{6} \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_f(x)}~=~ \pi_{\alpha}(x,t_f), \qquad \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_i(x)}~=~ -\pi_{\alpha}(x,t_i) ,$$

y

$$\tag{7} \frac{\partial S}{\partial t_f}~=~-h(t_f), \qquad \frac{\partial S}{\partial t_i}~=~h(t_i). $$

Ejemplo: Un campo libre de Lagrange de la densidad de ${\cal L} = \frac{1}{2}\phi^2$ conduce a

$$ \tag{8} S(\phi_f,t_f; \phi_i,t_i) ~=~ \frac{1}{2(t_f-t_i)} \int_{\Sigma} d^3x~(\phi_f(x)-\phi_i(x))^2 .$$

Referencias:

1. MTW; Sección 21.1 y la Sección 21.2.

2. L. D. Landau Y E. M. Lifshitz, Mecánica, vol. 1, 1976; $\S$ 43.

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$^1$ De las acciones en punto de la mecánica, véase, por ejemplo, este Phys.SE post.

$^2$ Para una prueba en el punto de la mecánica, véase, por ejemplo, Ref. 2 y mi Phys.SE la respuesta aquí.